Die Funktionen stellen Brüche dar, bei denen die Funktionsvariable auch im Nenner vorkommt. Das ist bei Polynomfunktionen nicht der Fall.

Die Zähler und Nenner der Funktionen enthalten Polynomfunktionen.

Eine rationale Funktion ist ein Quotient zweier Polynomfunktionen.

Hinweis: Da im Nenner einer rationalen Funktion die Polynomfunktion  n(x) = 1  stehen kann und dann die rationale Funktion gleich dem Zählerpolynom ist, folgt, dass die Polynomfunktionen auch zu den rationalen Funktionen gehören, dass also die Funktionsvariable nicht unbedingt im Nenner vorkommen muss.
Die Menge der rationalen Funktionen stellt also in analoger Weise eine Erweiterung der Menge der Polynomfunktionen dar, wie die Menge der rationalen Zahlen (= Bruchzahlen) eine Erweiterung der Menge der ganzen Zahlen darstellt. Deshalb werden Polynomfunktionen auch als „ganz-rationale Funktionen“ bezeichnet.

achsensymmetrisch, wenn  f(–x) = f(x)

punktsymmetrisch, wenn  f(–x) = – f(x)

f(–x) = = – = –f(x)  
Der Graf von f ist punktsymmetrisch bzgl. des Koordinatenursprungs.

f(–x) = = – = –f(x)  
Der Graf von f ist punktsymmetrisch bzgl. des Koordinatenursprungs.

f(–x) = = = f(x)  
Der Graf von f ist achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse.

f(–x) = = = – ≠ ± f(x)  
Der Graf von f ist bzgl. des Koordinatensystems nicht symmetrisch.

Eine rationale Funktion hat einen zur y-Achse achsensymmetrischen Grafen, wenn das Zähler- und das Nennerpolynom gleichartiges Symmetrieverhalten zeigen, also beide achsensymmetrische oder beide punktsymmetrische Grafen besitzen.
Eine rationale Funktion hat einen zum Ursprung punktsymmetrischen Grafen, wenn das Zähler- und das Nennerpolynom ungleichartiges Symmetrieverhalten zeigen, also eine von ihnen einen achsensymmetrischen und die andere einen punktsymmetrischen Grafen besitzt.

Umkehrschluss:
Wenn das Zähler- oder das Nennerpolynom einen nicht symmetrischen Grafen hat, ist auch der Graf der rationalen Funktion nicht symmetrisch.

Beurteilung der Gültigkeit dieser Aussage:

Die Aussage gilt nur, wenn das „oder“ im Sinne des strengen „entweder oder“ interpretiert wird; im Falle der toleranteren „oder auch“-Interpretation gilt sie nicht, wie das folgende Gegenbeispiel zeigt:

f(x) = = = x

Obwohl in diesem Fall weder das Zähler- noch das Nennerpolynom einen symmetrischen Grafen besitzt, ist der Graf der rationalen Funktion  f  achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse.

Die Menge aller z. B. reellen Zahlen, die die Funktionsvariable annehmen kann, so dass sich damit ein definierter Funktionswert ergibt.

Da der Nenner variabel ist, kann er u. U. auch null werden, so dass der Funktionswert dann nicht definiert ist.

f(x) =

n(x) = 0     x = 0     ID = IR \ {0}.

f(x) =

n(x) = 0     x – 1 = 0     x = ±1     ID = IR \ {–1; 1}.

f(x) =

n(x) = 0     x + 1 = 0     keine Lösung     ID = IR.

f(x) =

n(x) = 0     x + x = 0     x(x + 1) = 0
  x = 0;    x = –1     ID = IR \ {–1; 0}.

z. B. f(x) =
Allgemein muss der Exponent im Nenner gerade sein, d. h. x = 0 muss eine Polstelle mit gerader Vielfachheit sein.

z. B. f(x) = =
Allgemein müssen die Exponenten der Linearfaktoren im Nenner gerade sein, d. h. es müssen Polstellen mit gerader Vielfachheit vorliegen.

Skizze für den Nenner:  
x –1     f(x) = ∞
x = –1  ist also eine Polstelle von f, und zwar eine mit Vorzeichenwechsel.

f(x) = =
x 0     f(x) = 1

Wenn der Zähler null, der Nenner jedoch ungleich null ist.

Nullstellen von f(x) = :     Keine, da der Zähler nicht null werden kann.

Nullstelle von f(x) = :     x = 0

Nullstellen von f(x) = :

x – 1 = 0     x = 1     x = ± 1

Nullstellen von f(x) = :

x + x = 0     x(x + 1) = 0     x = 0

Da aber der Nenner bei x = 0 ebenfalls den Wert 0 besitzt, ist x = 0 keine Nullstelle von f, sondern eine Definitionslücke, nämlich nach 13.3 eine hebbare Lücke.

Skizze des Grafen von f₁:

Gleichungen der Asymptoten des Grafen von f₁:
x = 0   (senkrechte Asymptote)
y = 0   (waagrechte Asymptote)

Skizze des Grafen von f₂:

Gleichungen der Asymptoten des Grafen von f₂:
x = –1;   x = 1   (senkrechte Asymptoten)
y = 0   (waagrechte Asymptote)

Skizze des Grafen von f₃:

Gleichungen der Asymptote des Grafen von f₃:
empirisch:
y = 1   (waagrechte Asymptote)

Skizze des Grafen von f₄:

Gleichungen der Asymptoten des Grafen von f₄:
x = –1   (senkrechte Asymptote)
empirisch:
y = x – 1   (schiefe Asymptote)

Bei der Ermittlung der nicht senkrechten Asymptote wird das asymptotische Verhalten (Anschmiegeverhalten) des Grafen für  x ± ∞  untersucht. Da auf Grund des größeren Nennergrades der Nenner für große |x| viel schneller wächst als der Zähler, strebt der rationale Funktionsterm für große |x| gegen null.
Also liegt eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung  y = 0   vor, d. h. die x-Achse ist waagrechte Asymptote.

Polynomdivision:

Umwandlung des Quotienten in einen geschlossenen Bruch:

x ± ∞    f(x) = 1

Polynomdivision von f₄:
(Es genügt, den gekürzten Funktionsterm zu verwenden!)

Für  x ± ∞  strebt der echt gebrochen-rationale Anteil gegen null
  Gleichung der schiefen Asymptote:  y = x – 1

Ist der Zählergrad mindestens so groß wie der Nennergrad, so gilt:

f(x) = x³;     g(x) = x² + 1
Nach der Produktregel ergibt sich die Ableitung
(f(x) · g(x))' = 3x² · (x² + 1) + x³ · 2x
                   = 3x⁴ + 3x² + 2x⁴
                   = 5x⁴ + 3x²
Mit elementarer Rechnung ergibt sich
f(x) · g(x) = x⁵ + x³  
(f(x) · g(x))' = 5x⁴ + 3x²
Die Produktregel liefert also das selbe Resultat wie eine elementare Rechnung.

f(x) = (x³ – x)²
Nach der Kettenregel ergibt sich die Ableitung
f '(x) = 2(x³ – x) · (3x² – 1)
        = 6x⁵ – 2x³ – 6x³ + 2x
        = 6x⁵ – 8x³ + 2x
Mit elementarer Rechnung ergibt sich
f(x) = x⁶ – 2x⁴ + x²  
f '(x) = 6x⁵ – 8x³ +2x
Die Kettenregel liefert also das selbe Resultat wie eine elementare Rechnung.

Sei n IN. Dann gilt:

  , w. z. b. w.

a)  f(x) = =    f '(x) = –2 = –

f(x) =  

f '(x) =

         = =

an den Extremstellen, also den Nullstellen der ersten Ableitung mit ungerader Vielfachheit

an den Extremstellen und an den Polstellen mit gerader Vielfachheit

f(x) = 1/x² :   f steigt für x < 0 und fällt für x > 0.

an den Wendestellen, also den Nullstellen der zweiten Ableitung mit ungerader Vielfachheit

an den Wendestellen und an den Polstellen mit ungerader Vielfachheit

f(x) = 1/x :   der Graf von f ist für x < 0 rechts- und für x > 0 linksgekrümmt.

27.1

f(x) =  
f '(x) =
         =
         = , w. z. b. w.

27.2

f(x) =  
f '(x) =
         =
         = , w. z. b. w.

28.

Monotonieverhalten von f(x) = :
f'(x) = besitzt keine Nullstellen.
Für x < 0 wie auch für x > 0 ist f'(x) < 0  
Die Funktion f₁ fällt in ihrer gesamten Definitionsmenge.

Monotonieverhalten von f(x) = :
f'(x) = = = 0
  x² = –1: keine Lösung.
Da der Zähler immer und der Nenner nie negativ ist, ist f'(x) für alle x IR \ {–1;1} negativ. Also fällt f in IR \ {–1;1}.

Monotonieverhalten von f(x) = :
f'(x) =
        = = = 0
  x = 0
Monotonietabelle von f₃ :

	x <	0	< x
Zähler der Ableitungsfkt.	–	0	+
Nenner der Ableitungsfkt.	+	+	+
Steigung	–	0	+
Graf	fällt	TIP(0 | –1)	steigt

Monotonieverhalten von f(x) = :
Wenn man die hebbare Lücke x = 0 nicht aus den Augen verliert, kann man vorteilhaft den gekürzten Funktionsterm verwenden.
f'(x) =
        = = = 0
  x + 2x – 1 = 0     x = = –1 ±
Monotonietabelle von f₄ :

	x <	–1 –	< x <	–1	< x < ≠ 0	–1 +	< x
Zähler der Ablfkt.	+	0	–	–	–	0	+
Nenner der Ablfkt.	+	+	+	+	+	+	+
Steigung	+	0	–	#	–	0	+
Graf	steigt	HOP (–1 –|–2 – 2)	fällt	#	fällt	TIP (–1 +|–2 + 2)	steigt

29.

Krümmungsverhalten von f(x) = :
f'(x) = = –
  f''(x) = 2 = besitzt keine Nullstellen.
Für x < 0 ist f''(x) < 0 und für x > 0 ist f''(x) > 0  
Der Graf der Funktion f ist für x < 0 rechts- und für x > 0 linksgekrümmt. (Vgl. Aufgabe 26.3!)

Krümmungsverhalten von f(x) = :
f'(x) =
  f''(x) =
               =
               = = = 0
  x = 0
Krümmungstabelle von f₂ :

	x <	–1	< x <	0	< x <	1	< x
Zähler von f2''	–	–	–	0	+	+	+
Nenner von f2''	+	0	–	–	–	0	+
f2''(x)	–	#	+	0	–	#	+
f2'(x)	fällt	#	steigt	Max.	fällt	#	steigt
Graf von f2	Rechts- kurve	#	Links- kurve	WEP(0 | 0)	Rechts- kurve	#	Links- kurve

Krümmungsverhalten von f(x) = :
f'(x) =
  f''(x) =
               = = = 0
  3x = 1     x = ±
Krümmungstabelle von f₃ :

	x <	–	< x <		< x
Zähler von f3''	–	0	+	0	–
Nenner von f3''	+	+	+	+	+
f3''(x)	–	0	+	0	–
f3'(x)	fällt	Min.	steigt	Max.	fällt
Graf von f3	Rechts- kurve	WEP(–|–0,5)	Links- kurve	WEP(|–0,5)	Rechts- kurve

Krümmungsverhalten von f(x) = :
f'(x) = ,   x ≠ 0
  f''(x) =
                =
                = =
f₄''(x) = 0     keine Lösung
Krümmungstabelle von f₄ :

	x <	–1	< x ≠ 0
Zähler von f4''	+	+	+
Nenner von f4''	–	0	+
f4''(x)	–	#	+
f4'(x)	fällt	#	steigt
Graf von f4	Rechts- kurve	#	Links- kurve

30.

 ;  c IR    n \{–1}

31.

a)  f(x) = =
        = ,  c IR.

c)  f(x) = =
        =
                           = ,  c IR
                        ( = + c,  c IR.)

32.1

f(x) = =
  = =
Skizze:

32.2

= =

32.3

c ∞     =  1
Der Grenzwert  1  ist die Maßzahl der nach rechts unbegrenzten „trichterförmigen“ Fläche zwischen der x-Achse, der Geraden  x = 1  und dem Grafen von f.
Grafische Veranschaulichung: