Lösung zur Aufgabe Pythagoras
Extremalbedingung:
Nebenbedingung mit Hilfe des Satzes von Pythagoras :
Damit folgt:
Zielfunktion:
Bestimmen der relativen Extremstellen von V:
(Die Stelle 
gehört nicht zum Definitionsbereich der Zielfunktion.)
Da 
und 
, hat die Zielfunktion an der Stelle 
ein Maximum.
Ein maximales Zylindervolumen liegt genau dann vor, wenn 
und 
gilt. Das Volumen ist dann 
.
Es gilt: 
In den Randstellen wird 
nicht erreicht; an der Stelle 
liegt also ein absolutes Maximum vor.
Antwort:
Der einer Halbkugel mit Radius A einbeschriebene Zylinder hat das größtmögliche Volumen, wenn und gilt. Das Volumen ist dann .