Zeigen Sie, dass die Scheitelpunkte aller Parabeln G_fk auf der x-Achse liegen. Geben Sie die Wertemenge W_k der Funktion f_k in Abhängigkeit von k an.     (5 BE)

Zeichnen Sie für den Sonderfall k = 4 die Parabel G_f4 für 0 ≤ x ≤ 8. Verwenden Sie dazu eine gesonderte DIN-A4-Seite im Hochformat mit der x-Achse in der Seitenmitte.
Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE = 1 cm.   (3 BE)

Zeigen Sie, dass für einen geeigneten Wert von k die Funktion F eine Stammfunktion der zugehörigen Funktion f_k ist.
Bestimmen Sie außerdem das Monotonieverhalten der Stammfunktion F. Untersuchen Sie, ob der Graph G_F relative Extrempunkte besitzt.  (6 BE)

Ermitteln Sie die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen G_F.
Welche besondere Eigenschaft hat dieser Wendepunkt?  (4 BE)

Weisen Sie nach, dass sich die Graphen G_f4 und G_F im Punkt P(2; y_P) senkrecht schneiden und dass der Punkt P der einzige Punkt ist, den die beiden Graphen gemeinsam haben.   (9 BE)

Zeichnen Sie den Graphen G_F mit Hilfe bisheriger Ergebnisse und einer geeigneten Wertetabelle für 0 ≤ x ≤ 8 in das unter Teilaufgabe 1.1.2 beschriebene Koordinatensystem ein.   (5 BE)

Die y-Achse und die Graphen G_f4 und G_F begrenzen im I. und IV. Quadranten des Koordinatensystems ein Flächenstück. Berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts.   (6 BE)

1.3.0

Der Graph der reellen Funktion g: x g(x);   = IR  mit

g(x) = (–x + ax + bx + c)   schneidet die x-Achse an der Stelle x = 2

und hat den relativen Tiefpunkt T(4; –5).  

Bestimmen Sie den Funktionsterm g(x).   (7 BE)

Mit den Angaben für f₄(x) und F(x) aus 1.0 gilt für den Funktionsterm g(x) die folgende Beziehung: g(x) = 3(f₄(x) – F(x))  (Beweis nicht erforderlich).

Es sei x_H die Abszisse des Hochpunktes H des Graphen G_g. Beweisen Sie nur mit Hilfe der eben genannten Beziehung, ohne die Stelle x_H zu berechnen, die folgende Aussage:

"An der Stelle x_H haben die Graphen G_f4 und G_F parallele Tangenten."

Begründen Sie auch ohne Rechnung, dass diese parallelen Tangenten nicht zusammenfallen können.   (4 BE)

Der Kelch eines Eisbechers soll die Form eines auf der Spitze stehenden geraden Kreiskegels erhalten (siehe Skizze des Achsenschnittes; die Dicke der Glaswand werde vernachlässigt). Die Längenmaßzahl der Mantellinie s des Kegels beträgt 12.
Stellen Sie die Volumenmaßzahl V(h) des Kegels in Abhängigkeit von der Kegelhöhe h dar und geben Sie die Definitionsmenge

I der Funktion V: h V(h)  an.
Weisen Sie nach, dass die Volumenmaßzahl V(h) für = ihren absolut größten Wert annimmt. Zeigen Sie außerdem, dass in diesem Fall die Längenmaßzahlen von Radius r und Höhe h des Kegels im Verhältnis   : 1 stehen.

(Mögliches Teilergebnis:  V(h) = )  (11 BE)

Einem Betrieb entstehen bei der Herstellung einer Ware Gesamtkosten, die von der Menge des hergestellten Produkts (kurz: Produktmenge x) abhängen. Beispiel: Die Herstellung von 3 Mengeneinheiten (ME) kostet 30 Geldeinheiten (GE). (Zur Vereinfachung werden für die Berechnungen sämtliche Einheiten weggelassen.)
Um die Problematik mathematisch erfassen zu können wird angenommen, dass die Gesamtkosten durch eine ganzrationale Funktion k dritten Grades beschrieben werden, deren Graph G_k durch die Punkte A(0; 3), B(1; 22), C(2; 29) und D(3; 30) verläuft. Für die Definitionsmenge der Funktion k gilt: ID_k = [0; 7].

Ermitteln Sie den Funktionsterm  k(x).   (8 BE)
(Ergebnis:  k(x) = x³ – 9x² + 27x + 3)

Zeigen Sie, dass die Funktion k auf ihrer gesamten Definitionsmenge echt monoton zunimmt.
Welche Bedeutung hat dieses Ergebnis für die Gesamtkosten?   (6 BE)

Bestimmen Sie den Punkt P des Graphen G_k , für den G_k die geringste Steigung besitzt. Begründen Sie kurz, um welchen besonderen Punkt des Graphen es sich bei P handelt.   (4 BE)

Zeichnen Sie den Graphen G_k bezüglich ID_k = [0; 7] mit Hilfe bisheriger Angaben bzw. Ergebnisse und einer geeigneten Wertetabelle in ein rechtwinkliges Koordinatensystem.
Maßstab auf der x-Achse: 1 cm = 1 Mengeneinheit (ME);
Maßstab auf der y-Achse: 1 cm = 10 Geldeinheiten (GE).   (5 BE)

Die Ware wird zu einem Preis von 10 GE pro ME verkauft.
Es ergibt sich demnach als Erlösfunktion die lineare Funktion 

e:  x 10x ;  ID_e = ID_k = [0; 7].
Der Gewinn bzw. Verlust wird durch die Funktion  
g:  x e(x) – k(x) ;  ID_g = ID_k  beschrieben. Also gilt:
g(x) = –x³ + 9x² – 17x – 3.

Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion g. Runden Sie die Ergebnisse falls nötig auf zwei Nachkommastellen.   (5 BE)

Zeichnen Sie den Graphen G_e der Erlösfunktion e in das Koordinatensystem der Teilaufgabe 1.4 ein und geben Sie mit Hilfe der Zeichnung und des Ergebnisses von Teilaufgabe 2.1 diejenigen Intervalle an, in denen ein Gewinn (g(x) > 0) bzw. ein Verlust (g(x) < 0) erzielt wird.   (4 BE)

Bestimmen Sie jene Produktmenge x_M, für die der Betrieb den absolut größten Gewinn erzielt. Achten Sie auch auf die Ränder der Definitionsmenge.  (8 BE)

Durch Änderungen im Bereich der Produktion ergibt sich eine neue Kostenfunktion f mit ID_f = [0; 7], für die gilt:

mit a, b IR .

Berechnen Sie a und b so, dass die Funktion f an der Stelle x₀ = 3 stetig und differenzierbar ist. Erläutern Sie, was die Stetigkeit der Funktion f an der Stelle x₀ = 3 im Sinne der vorliegenden Thematik bedeutet.   (10 BE)
(Teilergebnis: a = 4;  b = –24)

Zeichnen Sie den Graphen G_f der Funktion f mit Farbe in das Koordinatensystem aus 1.4 ein und berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts der Fläche, die von den Graphen G_k und G_f zwischen den Stellen x₁ = 3 und x₂ = 7 eingeschlossen wird.   (10 BE)