Prüfung zur Erlangung der Fachhochschulreife
Frühjahr 2001

A I:   Lösungen

1.1.1     
            W ist Wendepunkt eines jeden Grafen von fk,
            weil seine Koordinaten parameterunabhängig sind.


1.1.2     


1.1.3     W liegt auf der Geraden, da  4 = –3·0 + 4  gilt.
            Kann  f an der Wendestelle, also bei  x = 0, die Steigung der Geraden,
            also  m = –3  haben?
            
            Also ist für  k = 3  die Gerade  y = –3 x + 4 die Wendetangente des
            zugehörigen Schargrafen.


1.2.1     
            x = 2  ist also eine doppelte,  x = –4  eine einfache Nullstelle von  f3.
            Daraus ergibt sich die Linearfaktorzerlegung:  


1.2.2     Da nach  Aufgabe 1.1.2  die Funktion  f  in den Intervallen  ]–∞ ; –2]
            und  [2 ; +∞[  echt monoton zunimmt,  müssen bei  x = –2  ein Hochpunkt
            und bei  x = 2  ein Tiefpunkt vorliegen. Nach Einsetzen dieser Abszissenwerte
            in die Funktionsgleichung von  f  ergibt sich:
            HOP(–2 | 8) ;   TIP(2 | 0).
            Wertetabelle:  
            
            Grafen von  f3  und von  p (Aufgabe 1.3.2): 
            


1.3.1     Ansatz:  p(x) = a x2 + b x + c        p '(x) = 2a x + b
            I.     p(0) = 4       c = 4 
            II.    p(–4) = 0       16a – 4b + 4 = 0 
            III.   p '(0) =       b =   in II:
            


1.3.2     


1.3.3     


1.4.1     


1.4.2     



2.1              A(a)  =  a (15 – 2a)  =  15a – 2a,       =  ] 0 ; 7,5 [.


2.2       

A II:   Lösungen

1.1.1         
            x = 2  ist eine parameterunabhängige Nullstelle von  f.
            


1.1.2     


1.1.3     


1.2.1     


1.2.2     

            Graf von  f2  und  t1 (Aufgabe  1.2.4):
            


1.2.3     


1.2.4     



1.3         soll bei  x = 0  stetig und differenzierbar sein    
            I.   Die Funktionswerte der „Äste“ müssen bei  x = 0  übereinstiimmen    
                 f2(0) = a·0 + b       b = 2
            II.  Die Steigungen der „Äste“ müssen bei  x = 0  übereinstiimmen    
                 f2'(0) = a       a = 1



2.1       E  =  Kinokartenpreis · Anzahl der Besucher    
            E(x)  =  (10 + x) (200 – 10x)  =  –10 x2 + 100 x + 2000 ,   IDE = [0 ; 20].


2.2       E '(x)  =  –20 x + 100  =  0           x = 5     IDE !
            E ''(x)  =  –20  <  0       
            Für  eine Preiserhöhung um  5 DM  nehmen die Einnahmen den größten Wert an.
            (Ein Randmaximum scheidet aus, da zwischen den Rändern der Definitionsmenge von E
            und der Stelle  x = 5  keine Minimalstellen existieren.)