Prüfung zur Erlangung der Fachhochschulreife
Frühjahr 1999

S I:   Lösungen

1.          



2.1        P(A)  =  P({RRR, WWW})  =  0,12 + 0,024  =  0,144
             P(B)  =  P({RRR, RRW, RWR, WRR})  =  0,12 + 0,18 + 0,18 + 0,168  =  0,648
             Untersuchung von A und B auf stoch. Unabhängigkeit:
             P(A  B)  =  P({RRR})  =  0,12
             P(A) · P(B)  =  0,144 · 0,648  =  0,093312  ≠  0,12  =  P(A  B)       
             A und B sind stochastisch abhängig.


2.2        
             Es handelt sich um das Ereignis: „Es wird genau eine rote Kugel gezogen.“
             P()  =  0,12 + 0,112 + 0,096  =  0,328


2.3   



3.1        
             (Alle Werte sind dem Baumdiagramm von Aufgabe 1 entnommen.)


3.2        
             Graf der kumulativen Verteilungsfunktion  F:
             



4.1        Das Spiel ist fair, wenn  E(X) = 0.      
             a · 0,024  +  3 · 0,328  –  2 · 0,528  –  5 · 0,120  =  0
             0,024 a  =  0,672
             a  =  28


4.2        
                   P()  =  1 – 0,425  =  0,575  >  P(E).

             Also ist es günstiger, auf das Ereignis    zu setzen.



5.          Gegenhypothese:  p ≠ 0,45

             Linksseitiger Ablehnungsbereich:
             T1 links = [0 ; kl]IN

             Also gilt für T Gewinne:
             P(T  ≤ kl)  <  0,005
             kl   ≤  31  (laut Tafelwerk:  p = 0,45;  n = 100; rechte Spalte)
                 T1 links = [0 ; 31]IN

             Rechtsseitiger Ablehnungsbereich:
             T1 rechts = [kr ; 100]IN

             Also gilt für T Gewinne:
             P(T ≥ kr)  <  0,005
             P(T  ≤ kr–1)  >  0,995
             kr–1  ≥  58  (laut Tafelwerk:  p = 0,45;  n = 100; rechte Spalte)
             kr  ≥  59
                 T1 rechts = [59 ; 100]IN

             Also gilt für den gesamten Ablehnungsbereich:
             T1  =  [0 ; 31]IN  [59 ; 100]IN

             Demnach kann bei 32 Gewinnspielen die Nullhypothese auf dem 1%-Niveau
             nicht abgelehnt werden.

S II:   Lösungen

1.1        


1.2        Bei den Teilaufgaben a) und c) liegt eine Bernoulli-Kette vor. Die WSK-Werte werden jeweils
             dem Tafelwerk entnommen.

             a)     B(5; 0,6; 5) = 0,07776

             c)     B(5; 0,15; 0) = 0,44371
             b)     



2.1        Einer Binomialverteilung liegt stets eine Bernoulli-Kette zugrunde.
             Diese hat eine Länge (hier: n = 20), die Unterscheidung von „Treffer“ und „Niete“ (hier:
             Vanillemilch bestellt: ja / nein) sowie eine konstante Trefferwahrscheinlichkeit (hier: p = 0,15).
             Also ist die Zufallsgröße  X  binomial verteilt.
             P(X  ≤ 1)  =  F(1)  = (Tafelwerk)  0,17556


2.2        P(X ≥ 2)  =  1 – P(X  ≤ 1)  =  1 – F(1)  =  1 – 0,17556  =  0,82444



3.1        Vierfeldertafel (gegebene Werte in Fettschrift): 

	

		

			 
		
		

			E1 (M)
		
		

			
		
		

			 
		
	
	

		

			E2 (E)
		
		

			0,15
		
		

			0,10
		
		

			0,25
		
	
	

		

			
		
		

			0,45
		
		

			0,30
		
		

			0,75
		
	
	

		

			 
		
		

			0,60
		
		

			0,40
		
		

			1
		
	


             Aus der Vierfeldertafel folgt:
             Die beiden Ereignisse sind vereinbar, weil  P(E1  E2) = 0,15 > 0 .
             Die beiden Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn die „Erdbeermilch-Fraktion“
             bei den Mädchen denselben Bruchteil ausmacht wie bei allen Kindern.
             Das ist aber der Fall:    0,15 : 0,60  =  0,25 : 1  =  1 : 4 .


3.2        Wiederum gilt nach der Vierfeldertafel:
             P(E1  E2)  =  0,60 + 0,25 – 0,15  =  0,70
             P(  )  =  0,30



4.1        Wahrscheinlichkeitsverteilung von  Y :


  Y = y

1

3

8

10


  P(Y = y)











             


4.2        E(Y) = 1· + 3· + 8· + 10· = 2,36
             E(Y2) = 1· + 9· + 64· + 100· = 9,61
             Var(Y) = E(Y2) – (E(Y))2 = 9,61 – 2,362 = 4,04       σ =  = 2,01


4.3        Testgröße T = Anzahl des erscheinenden blauen Sektors bei 50 Drehungen des Glücksrads
             Nullhypothese:  Der blaue Sektor erscheint unverändert mit der WSK  p =  = 0,125.
             Gegenhypothese:  Der blaue Sektor erscheint mit einer WSK  p >  .
             Art des Tests: einseitiger (rechtsseitiger) Hypothesentest

             WSK, mit der T im Ablehnungsbereich liegt:
             P(T > 10)  =  1 – P(T  ≤ 10)  =  1 – F(10)  =  1 – 0,95793  =  0,04207