Zu 2.:
Stetigkeit prüfen:
Es muss gelten: f (x
) = p (x)
f (x) =
p (x)
Die Funktion g ist an
der Stelle x = 3 stetig.
Differenzierbarkeit prüfen:
Es muss gelten:
Die Funktion g ist an
der Nahtstelle x = 3 stetig und differenzierbar.
Der Graph
G
hat somit keinen „Sprung“ und keinen „Knick“.
Zu 3.:
Stetigkeit ist gegeben
Differenzierbarkeit prüfen:
Es muss gelten:
Die Funktion f ist an
der Nahtstelle x = 2 stetig, aber nicht differenzierbar.
Der Graph G
hat somit keinen „Sprung“, aber einen „Knick“.
Zu 4.:
Differenzierbarkeit:
Es muss gelten:
Die Funktion k ist an
der Stelle x = 0 differenzierbar, wenn gilt: m = –1
Ergebnis:
Zu 5.:
Stetigkeit:
Es muss gelten: g1 (x) = g2 (x)
Die Funktion g ist an
der Stelle x = 0 stetig, wenn gilt: b = 0
Differenzierbarkeit:
Es muss gelten:
Die Funktion g ist an
der Stelle x = 0 stetig und differenzierbar, wenn gilt:
a =
und b = 0
Ergebnis:
Zu 6.:
Stetigkeit:
Es muss gelten: p (x) = g (x)
Differenzierbarkeit:
Es muss gelten:
Die Funktion k ist an
der Stelle x = 6 differenzierbar,wenn gilt: m = –1
m in die obere
Gleichung einsetzen und c ausrechnen:
c = 9
Ergebnis: g(x) = – x + 9
Zu 7.:
Stetigkeit:
Es muss gelten: p (x) = f (x)
Differenzierbarkeit:
Es muss gelten:
Die Funktion g ist an
der Stelle x = 1 differenzierbar, wenn gilt: 
a in die obere
Gleichung einsetzen und b ausrechnen
Ergebnis:
Zu 8.:
Stetigkeit:
Es muss gelten: f1 (x) = f2 (x)
Die Funktion f ist an
der Stelle x = 3 stetig, wenn gilt: I 3a + b = –12
Differenzierbarkeit:
Es muss gelten:
Die Funktion f ist an
der Stelle x = 3 differenzierbar, wenn gilt:
II 6a + b = 0
Gleichung I nach b auflösen und in II einsetzen:
b = – 3a – 12
II '
a = 4 in II einsetzen:
24 + b = 0 b = – 24
Ergebnis:
- Für a = 4 und b = – 24 ist die Funktion f an der Stelle x = 3 stetig und differenzierbar.
- Die Stetigkeit bedeutet, dass eine kleine Änderung der Produktmenge in der
Umgebung von x = 3 nicht zu einer sprunghaften Änderung der Kosten führt.