Lösungen zu den Übungsaufgaben

1. a)

Extremalbedingung: soll maximal werden.

Nebenbedingung: , also folgt:

Zielfunktion:

Ableitungen:

Die Stelle -4 gehört nicht zum Definitionsbereich der Zielfunktion.

Da und hat die Zielfunktion an der Stelle ein Maximum; .

An den Randstellen gilt:

An den Randstellen wird nicht erreicht; an der Stelle liegt also ein absolutes Maximum vor.

Das Rechteck hat genau dann maximalen Flächeninhalt, wenn gilt: .

b)

Extremalbedingung: soll maximal werden.

Nebenbedingung:

Also folgt:

Zielfunktion:

Ableitungen:

Die Stelle gehört nicht zum Definitionsbereich der Zielfunktion.

Da und , hat die Zielfunktion an der Stelle ein Maximum; .

Für die Randstellen gilt:

In den Randstellen wird nicht erreicht; an der Stelle liegt also ein absolutes Maximum vor.

Das gleichschenklige Dreieck hat genau dann maximalen Flächeninhalt, wenn gilt: und .
(Dieses Ergebnis war zu erwarten, denn anschaulich ist klar, dass das Dreieck genau dann maximalen Flächeninhalt hat, falls das "ergänzende" Rechteck größten Flächeninhalt hat. Aufgabenteil b) läßt sich also auf Aufgabenteil a) zurückführen.)

2.

Extremalbedingung: soll maximal werden.

Nebenbedingung:

Also folgt:

Zielfunktion:

Ableitungen:

Die Stellen und gehören nicht zum Definitionsbereich der Zielfunktion.

Da und hat die Zielfunktion an der Stelle ein Maximum.

Es gilt: und

In den Randstellen wird nicht erreicht; an der Stelle liegt also ein absolutes Maximum vor.

Der Kegel hat also genau dann ein maximales Volumen, falls und gilt.

3.

Extremalbedingung: soll maximal werden.

Nebenbedingung.

Also folgt:

Zielfunktion:

Ableitungen:

Die Stelle gehört nicht zum Definitionsbereich der Zielfunktion.

Da und hat die Zielfunktion an der Stelle ein Maximum.

Es gilt:

In den Randstellen wird nicht erreicht; an der Stelle liegt also ein absolutes Maximum vor.

Das Rechteck hat also genau dann maximalen Flächeninhalt, wenn und gilt.

4.   Seien die beiden gesuchten Summanden x und y.

a)   Extremalbedingung: soll maximal werden.

Nebenbedingung:

Zielfunktion:

Ableitungen:

Die Extremalstelle x=9 ist eine Maximalstelle, da ist.

Für x =9 und y= 9 wird das Produkt maximal.

b) Extremalbedingung: x² + y² soll minimal werden.

Nebenbedingung:

Zielfunktion: SQ(x) = x² + (18 –x)²

Ableitungen:

Für x=9 und y=9 wird x²+y² minimal.

5.   Seien die beiden gesuchten Summanden x und y.

Extremalbedingung: x^3.y² soll maximal werden.

Nebenbedingung:

Zielfunktion:

Ableitungen:

für x=6

Summanden sind x=6 und y=4.

6. Skizze:

Extremalbedingung:
soll möglichst klein werden.

Nebenbedingung:

Zielfunktion:

hat an der Stelle einen (–/+)- Vorzeichenwechsel, also liegt ein Minimum vor.

Es gilt:

Randfälle: wenn , dann , wenn , dann

Also sind die Kosten für   minimal.

7. Gewinn: G

Preissenkung in Cents: x

Extremalbedingung: soll maximal werden.
                                           (Erlös – Kosten in Cents)

,  

Ableitungen:

Also ist x = 5 ein relatives Maximum und

Wegen und ist das relative Maximum auch das absolute Maximum.

8. Skizze:

a) Extremalbedingung:
   soll maximal werden.

Nebenbedingung: also

h ≥ 0     3 – a   ≥ 0     0 ≤ a ≤

Also folgt:

Zielfunktion ,  0 ≤ a ≤

Ableitungen:

Bestimmen der relativen Extremstellen von :

Da und hat V an der Stelle 1 ein Maximum.

Randwerte: Es ist V(0) = 0 sowie V() = 0. Es liegt daher an der Stelle 1 ein absolutes Maximum vor.

Ein maximales Volumen liegt also für a = 1 dm und h = 0,5 dm vor.

Das Volumen beträgt dann .

b) Extremalbedingung: soll maximal werden.

Nebenbedingung: also

h ≥ 0     3 – 2a   ≥ 0     0 ≤ a ≤

Also folgt:

Zielfunktion: ,  0 ≤ a ≤

Ableitungen: ;

Bestimmen der relativen Extremstellen von

Also hat V an der Stelle ein relatives Maximum.

Ein maximales Volumen liegt bei vor. Es ist dann

Formulierung der Antwort analog zu a).

h : a  =  4 : 3
Das Volumen der vorn geöffneten Schachtel ist etwas kleiner als das der oben geöffneten Schachtel.

9. Skizze:

Extremalbedingung: soll maximal werden.

Zielfunktion:

Ausmultiplizieren des Terms:

Ableitungen:

An der Stelle 5 hat die Zielfunktion ein Maximum (
und V''(5) = –140 < 0).
Die Stelle gehört nicht zum Definitionsbereich der Zielfunktion.

Wegen liegt ein absolutes Maximum für x=5 vor.

Der Kasten mit den Maßen 30 cm, 15 cm und 5 cm hat maximales Volumen. Es beträgt 2250 cm .

10. Skizze:

Extremalbedingung: soll maximal werden.

Nebenbedingung:

b ≥ 0     ≥ 0     a ≤

Zielfunktion: ,  0 ≤ a ≤

  Bei a = ist ein relatives Maximum.

Randfälle: A(0) = 0;   A() ≈ 0,06U < A() ≈ 0,1U  

Für a = ist der Funktionswert maximal. Es folgt: b = , d. h.  a : b  =  2 : 1.

11. Skizze:

Extremalbedingung: soll maximal werden.

Nebenbedingung: ( mit Hife des Strahlensatzes zu berechnen):

Zielfunktion:

Ableitungen:

Bestimmung der Maximalstelle:

Die Stelle 0 ist eine Randstelle.

Da und hat die Zielfunktion an der Stelle ein Maximum; .

An den Randstellen gilt: .

In den Randstellen wird nicht erreicht; an der Stelle liegt also ein absolutes Maximum vor.

Ein maximales Volumen liegt also genau dann vor, wenn und gilt.
Das Volumen ist dann .

12. Skizze:

Extremalbedingung: soll maximal werden.

Nebenbedingung:

Es gilt:

Zielfunktion:

Ableitungen:

Bestimmung der Maximalstelle:

Da und hat die Zielfunktion an der Stelle 4 ein Maximum; .

An den Randstellen gilt:

In den Randstellen wird nicht erreicht; an der Stelle 4 liegt also ein absolutes Maximum vor.

Das quaderförmige Zimmer ist genau dann möglichst groß, wenn y=4 und x=2,4 gilt.

Es muss also eine Höhe von 2,4 m und eine Breite von 4 m gewählt werden.

13. Skizze:

Extremalbedingung: soll minimal werden.

Nebenbedingung: d.h.

Also folgt mit

Zielfunktion:

Ableitung:

Bestimmung der Minimalstelle:

hat an der Stelle h = einen
- Vorzeichenwechsel, es liegt ein relatives Minimum vor.

Das Minimum ist für gegeben.

Randstellen: Wenn , dann ; wenn , dann

Es liegt ein absolutes Minimum vor.

Begründung: Wegen der Monotonie der Quadratfunktion hat mit einer Funktion f auch die Funktion an einer Stelle ein Extremum.

Maße der gesuchten quadratischen Säule:
a = ;   h = ,
d. h.: die gesuchte quadratische Säule ist ein Würfel.

14. Skizze:

Extremalbedingung: s möglichst klein

Nebenbedingung:

Zielfunktion:

Ableitung:

hat an der Stelle einen (–/+)-Vorzeichenwechsel: Es liegt ein Minimum vor.

Es ergibt sich

d.h.

Wenn , dann ; wenn , dann . Es liegt also ein absolutes Minimum vor.

Maße der gesuchten geraden quadratischen Pyramide:
a = ;   h = =  0,5 · ,
d. h.  a : h  =  2 : 1.

15. Skizze:

Extremalbedingung: soll maximal werden.

Nebenbedingung: es muss gelten: I. 
                                                II.  x² + r_k² = r²     x =

Setzt man x in die erste Gleichung ein, so erhält man:

Damit ergibt sich:
bzw.

Zielfunktion:

Also liegt ein relatives Maximum vor.

Aus ergibt sich

Da gilt , liegt ein absolutes Maximum vor.

Maße des gesuchten geraden Kreiskegels:
ergibt mit den Grundflächenradius r = ;
Kegelhöhe: h = ,
d. h.  r : h  =  1 : .

16. a)

Extremalbedingung: soll maximal werden.

Nebenbedingung (Strahlensatz): hieraus folgt

Ziefunktion:

Ableitungen:

An der Stelle a = liegt also ein Maximum vor.

Wegen liegt ein absolutes Maximum vor.

Das größte Volumen ist für gegeben. Es beträgt:

b)

Extremalbedingung: soll maximal werden.

Nebenbedingung: ; hieraus folgt , also

Zielfunktion:

Ableitungen:

An der Stelle a = liegt also ein Maximum vor.

Wegen liegt ein absolutes Maximum vor.

Für liegt der größte Wert des Volumens vor. Er beträgt .

17.

Extremalbedingung: soll maximal werden.

Nebenbedingung: d.h.

Durch das Einsetzen von s ergibt sich:

a² einsetzen in V ergibt:

Zielfunktion:
Definitionsmenge von V:  h < halbe Diagonale des großen Quadrats

Ableitungen:

( Die 2. Lösung h = entfällt, da sie nicht im Definitionsbereich liegt.)

Es liegt also ein Maximum vor.

Wegen liegt ein absolutes Maximum vor.

Ein Maximum liegt für   vor.
Das Volumen beträgt dann  .

18. a)

Skizze:

Extremalbedingung: F = (d – x)(d – (b – y)) soll maximal werden.

Nebenbedingung:

y,  a = 0,4,  b = 0,5,  d = 1  in F eingesetzt  

Zielfunktion: F: x F(x) = (1 – x) = ,  0 ≤ x ≤ 0,4

Ableitungen:

F '(x) = 0     x = 0,3 ID_F

F ''(x) < 0     Bei  x = 0,3  hat F das relative Maximum F(0,3) = 0,6125m².

Randwerte: F(0) = 0,5 < F(0,3);   F(0,4) = 0,6 < F(0,3)  

Das relative Maximum bei  x = 0,3  ist das absolute Maximum von F.

Maße der Scheibe mit maximaler Fläche:
Breite: 1 – 0,3 = 0,7 m;  Höhe: m.

b)

Skizze:

Extremalbedingung: F = (d – x)(d – (b – y)) soll maximal werden.

Nebenbedingung:

y,  a = 0,3,  b = 0,6,  d = 1  in F eingesetzt  

Zielfunktion: F: x F(x) = (1 – x)(0,4 + 2x) = –2x² + 1,6x + 0,4;  0 ≤ x ≤ 0,3

Ableitungen: F '(x) = –4x + 1,6;   F ''(x) = –4

F '(x) = 0     x = 0,4 ID_F  
Das Maximum von F muss ein Randwertmaximum sein.

F(0) = 0,4;  F(0,3) = 0,7 > F(0)  
An der Randstelle  x = 0,3  liegt das absolute Maximum von F vor.

Maße der Scheibe mit maximaler Fläche:
Breite: 1 – 0,3 = 0,7 m;  Höhe: 1 m.

Skizze: