3.

a)

Zunächst sucht man eine möglichst einfache Polynomfunktion, die x₀ = als Nullstelle besitzt. Man findet f(x) = x² – 3. Dann überlegt man sich, in welchem Intervall   I  die gesuchte Nullstelle liegen muss. Durch Abschätzung kommt man auf  I = [1;2]. Wegen f '(x) = 2x  und  |f '(1)| < |f '(2)| ist z₁ = 2  der günstigere Startwert für die Bestimmung von x₀ .

  =  2 – = 1,75

  =  1,75 – = 1,733

  =  1,733 – = 1,732

Also lautet die gesuchte Nullstelle näherungsweise  x₀ = 1,73.

b)

Zunächst sucht man eine möglichst einfache Polynomfunktion, die x₀ = als Nullstelle besitzt. Man findet  f(x) = x³ – 456.  Dann überlegt man sich, in welchem Intervall  I  die gesuchte Nullstelle liegen muss. Durch Abschätzung kommt man auf  I = [7;8]. Wegen f '(x) = 3x²  und  |f '(7)| < |f '(8)|  ist z₁ = 8  der günstigere Startwert für die Bestimmung von x₀ .

  =  8 – = 7,71

  =  7,71 – = 7,69702

  =  7,69702 – = 7,69700

Also lautet die gesuchte Nullstelle näherungsweise  x₀ = 7,697.