Lösung 1a:

Gegeben: n = 10 ; p = ; k = 2
Lösung: P (X = 2) = B (10;; 2) = * ² * ⁸ = 0,29071 => 29,1 %

Lösung 1b:

P (X 2) = B (10; ; i) = 0,77523 => 77,5 %

Gegeben:
Wahrscheinlichkeit, dass -Teil A defekt ist: 0,01 -Teil B defekt ist: 0,01
-Teil C defekt ist: 0,05 - Zusammenbaufehler: 0,02 ; n = 1000 ; X = Anzahl der defekten Exemplare

Lösung:
q = P (Gerät nicht defekt) = 0,99 * 0,99 * 0,95 * 0,98 = 0,9124731 => gerundet: 0,91
p = P (Gerät defekt) = 1 - 0,91 = 0,09

E (X) = 1000 * 0,09 = 90
Var (X) = 90 * 0,91 = 81, 90 => = 9,05

Gegeben:
Wahrscheinlichkeit, dass: -Teil A defekt ist: 0,01 -Teil B defekt ist: 0,01
-Teil C defekt ist: 0,05 - Zusammenbaufehler: 0,02 ; n = 1000

Lösung:
q = 0,99 * 0,99 * 0,99 * 0,98 = 0,95 (gerundet)
p = 1 - 0,95 = 0,05
E (X) = 1000 * 0,05 = 50
eingesparte Reparaturkosten: (90 € * 100 €) - (50 € * 100 €) = 4000 €
=> Aufpreis (höchstens) pro Bauteil C = 4000 € : 1000 Stück = 4 €

Gegeben: µ = 5 = E (X) ; ² = 3,75 = Var (X)
Gesucht: n, p
Lösung:
µ = n * p = 5
Var (X) = 3,75 = n * p * q = 5q => q = 3,75 : 5 = 0,75
=> p = 1 - 0,75 = 0,25
=> n * 0,25 = 5 => n = 20

Lösung 3b:

P ( | X - µ | 2) = P (| X - 5| 2) = P ( X 3) + P ( X 7) = P ( X 3) + 1 - P ( X 6)
= B ( 20; 0,25; i) + 1 - B ( 20; 0,25; i) = 0,22516 + 0,21422 = 0,43938 => 43,9 %

P ( µ - < X < µ + ) = P ( 5 - 1,94 < X < 5 + 1,94 )

= P ( 3,06 < X < 6,94 )
= P ( X 6) - P ( X 3 ) = B ( 20; 0,25; i ) - B ( 20; 0,25; i )
= 0,78578 - 0,22516 = 0,56062 => 56,1 %

Gegeben: n = 200 ; p = 0,1 ; X = Melone mit Untergewicht

Lösung:
P_A ( X 20 ) = B ( 200; 0,1; i) = 0,55917 => 55,9 %
P_B ( 16 X 24 ) = P ( X 24 ) - P ( X 15 )
= B ( 200; 0,1; i ) - B ( 200; 0,1; i )
= 0,71203 => 71,2 %

P_C = ( X > 24 ) = 1 - P ( X 24) = 0,14489 => 14,5 %

Gegeben: n = 20; p = 0,1 ; X = Melone mit Untergewicht
Lösung:
P ( X > 3 ) = 1 - P ( X 3 )
= 1 - B ( 20; 0,1; i ) = 1 - 0,86705 = 0,13295 => 13,3 %

Lösungen 5a:

X ist eine B(4; 0,4)-verteilte Zufallsgröße (Werte aus dem Tafelwerk):

Lösung 5b:

	x < 0	0 x < 1	1 x < 2	2 x < 3	3 x < 4	4 x
F (x)	0	0,1296	0,4752	0,8208	0,9744	1

Lösung 5c:

P(2 X 3) = 0,3456 + 0,1536 = 0,4992

Lösung 6a:

Um mindestens 8000 Mehreinnahmen zu erzielen, müsste der Händler mindestens
100 (100 * 80 = 8000) Geräte des Typs H haben.
Es liegt eine B(200; 0,6)-verteilte Zufallsgröße vor :
P(X 100) = B (200; 0,6; i) = 1 -B (200; 0,6; i) = 1 - 0,00168 = 0,99832

Lösung 6b:

Erwartungswert für die Anzahl der Geräte des Typs H:
µ = 200 * 0,6 = 120
Mehreinnahmen: 120 * 80 = 9600 (in €)
Mehrausgaben: 200 * 40 = 8000 (in €)
Dem Händler blieben also trotz der Prüfkosten noch Mehreinnahmen in Höhe von 1600€.

Lösung 7a:

Es liegt eine Binomialverteilung mit n = 50 und p = 0,7 vor.
µ = n · p = 50 · 0,7 = 35
Var(X) = n · p · q = 35 · 0,3 = 10,5
= 3,24
P (µ - X µ + ) = P (31,76 X 38,24) = P (32 X 38)
= F (38) - F (31) = 0,861 - 0,141 = 0,72

Lösung 7b:

Mindestens 15 PCs sind genau dann frei, wenn höchstens 35 PCs belegt sind.
P(X 35) = B (50; 0,7; i) = 0,553 = 55,3 %

Lösung 8a:

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette, da die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von zwei Ereignissen gefragt ist:
P: "Pizza gewünscht" ; N: "Nudeln gewünscht"
Die Wahrscheinlichkeit für ein 8-Tupel der Form PPPPPPNN ist: 0,6⁶ * 0,3²
=> p = * 0,6⁶ * 0,3² = 0,11757 , oder:
=> p = * 0,6⁶ * 0,3² = 0,11757

Lösung 8b:

F: "Florian bekommt seine Gemüseplatte" = " von den 8 Personen vor ihm nehmen höchstens 2 eine Gemüseplatte"
P (Gemüseplatte) = 1 - (0,6 + 0,3) = 0,1
P (F)= B (8; 0,1; i) = 0,96191