Lösung 1a:

Baumdiagramm:

x	0	1	2
P(X=x)

Stabdiagramm:	Histogramm:

Lösung 1b:

Baumdiagramm:

Stabdiagramm:	Histogramm:

Lösung 2a:

Firma A:

E(X) = 0 * 0,70 + 1 * 0,20 + 2 * 0,06 + 3 * 0,04 = 0,44

Var(X) = 0² * 0,70 + 1² * 0,20 + 2² * 0,06 + 3² * 0,04 - 0,44² = 0,61

Firma B:

E(X) = 0 * 0,76 + 1 * 0,04 + 2 * 0,20 + 3 * 0 = 0,44

Var(X) = 0² * 0,76 + 1² * 0,04 + 2² * 0,20 + 3² * 0 - 0,44² = 0,65

Lösung 2b:

Die besseren Antriebsmotoren werden von Firma A hergestellt. Zwar ist der Erwartungswert bei beiden gleich, jedoch ist die Streuung um den Erwartungswert (Standardabweichung) bei Firma B höher.

Lösung 3a:

Lösung 3b:

x	-2	0	2
P(X=x)	= 0,1	= 0,6	= 0,3

Histogramm:

Lösung 3c:

E(X) = (-2) * 0,1 + 0 * 0,6 + 2 * 0,3 = 0,4

Lösung 3d:

Var(X) = (-2)² * 0,1 + 0² * 0,6 + 2² * 0,3 - 0,4² = 1,44

Lösung 3e:

ein faires Spiel herrscht, wenn E(X) = 0.

bisherige Auszahlung für schwarze Kugel: 2 €
neue Auszahlung: a

E(X) = -2 * 0,1 + (a - 2) * 0,6 + (2 a - 2) * 0,3 = 0
<=> -0,2 + 0,6a - 1,2 + 0,6a - 0,6 = 0
<=> -2 + 1,2a = 0
<=> a = 1,67

Um ein faires Spiel zu haben, muss für jede schwarze Kugel 1,67 € ausgezahlt werden.

Lösung 4a:

Baumdiagramm:

Stabdiagramm:

Lösung 4b:

P(X < 0) = 0,4 + 0,2 = 0,6

Lösung 4c:

E(X) = (-1) * 0,4 + (-0,5) * 0,2 + 1 * 0,4 = -0,1

Da der Erwartungswert ein Wert ungleich Null ist, handelt es sich um ein unfaires Spiel!

Lösung 4d:

ein faires Spiel herrscht, wenn E(X) = 0.

bisherige Auszahlung für zwei gleiche Zahlen: 2 €
neue Auszahlung: a

E(X) = (-1) * 0,4 + (-0,5) * 0,2 + (a-1) * 0,4 = 0
<=> -0,5 + 0,4a - 0,4 = 0
<=> -0,9 + 0,4a = 0
<=> 0,4a = 0,9
<=> a = 2,25

Es herrscht ein faires Spiel, wenn bei zwei gleichen Zahlen ein Betrag von 2,25 € ausbezahlt wird!

Lösung 5a:

x	3	4	5	6	7
P(X=x)	= 0,12	= 0,35	= 0,30	= 0,17	= 0,06

Histogramm:

Lösung 5b:

Die mittlere Keimdauer entspricht dem Erwartungswert E(X) der Zufallsgröße X.

E(X) = 3 * 0,12 + 4 * 0,35 + 5 * 0,30 + 6 * 0,17 + 7 * 0,06 = 4,7

Es soll gelten:
P( | X - E(X) | ) < 0,20 * E(X)
= P ( | X - 4,7 | ) < 0,94
= P ( -0,94 < X - 4,7 < 0,94)
= P ( 4,7 - 0,94 < X < 4,7 + 0,94)
= P ( 3,76 < X < 5,64 )
= P(X=4) + P(X=5)
= 0,35 + 0,30 = 0,65

Lösung 6a:

x	1	3	8	10
P(X=x)

Histogramm:

Lösung 6b:

E(X) = 1 * + 3 * + 8 * + 10 * = 2,36

Var(X) = 1² * + 3² * + 8² * + 10² * - 2,36² = 4,04

Lösung 7a:

Aus der Normierungsbedingung = 1 folgt:

I) a + 0,25 + 3b + 0,1 + b + 0,05 = 1 a = - 4b + 0,6

Außerdem gilt:
II) a + 0,25 + 3b = 0,8

Jetzt kann I in II eingesetzt werden:
- 4b + 0,6 + 0,25 + 3b = 0,8 b = 0,05

Jetzt kann b in I eingesetzt werden:
a = - 4 × 0,05 + 0,6 a = 0,4

Lösung 7b:

E(X) = 0 * 0,4 + 1 * 0,25 + 2 * 0,15 + 3 * 0,1 + 4 *0,05 * 5 × 0,05 = 1,3

Var (X) = 0² * 0,4 + 1² * 0,25 + 2² * 0,15 + 3² * 0,1 + 4² * 0,05 + 5² * 0,05 - 1,3² = 2,11

σ = = 1,45

Wegen | X - µ | < σ folgt:

| X - 1,3 | < 1,45

- 1,45 < X - 1,3 < 1,45

- 1,45 + 1,3 < X < 1,45 + 1,3

- 0,15 < X < 2,75

P ( | X - µ | < σ ) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

P ( | X - µ | < σ ) = 0,4 + 0,25 + 0,15 = 0,8

Lösung 8a:

Aus der Normierungsbedingung = 1 folgt:

I) 20a + 5b + 2b + a = 1 21a + 7b = 1

Mit E(X) = 1 folgt:

II) 0 * 20a + 1* 5b + 2 * 2b + 3 * a = 1 9b + 3a = 1

Aus I. folgt , eingesetzt in II. ergibt:

II) 63b + 1 - 7b = 7

Eingesetzt in I. ergibt

I)

Lösung 8b:

x	0	1	2	3
P(X=x)

Histogramm:

Lösung 9a:

Aus der Normierungsbedingung = 1 folgt:

0,4a + 0,025a² + 0,05 + 0,05 = 1
0,025a² + 0,4a - 0,9 = 0
a² + 16a - 36 = 0
(a + 18) (a - 2) = 0
a = 2
(a = -18 scheidet aus, da es keine negativen Wahrscheinlichkeiten gibt.)

Lösung 9b:

E(X) = 0 * 0,4 * 2 + 1 * 0,025 * 2² + 2 * 0,05 + 3 * 0,05 = 0,35

Var(X) = 0² * 0,4 * 2 + 1² * 0,025 * 2² + 2² * 0,05 + 3² * 0,05 - 0,35² = 0,63

P(E(X)-2σ ≤ X ≤ E(X)+2σ) =

= P(-1,23 ≤ X ≤ 1,93) = P(X=0) + P(X=1) = 0,8 + 0,1 = 0,9