3. Ebenen im Raum

3.1 Vektorform

Wie auch bei einer Geraden braucht man für die eindeutige Darstellung einer Ebene einen beliebigen Punkt P der Ebene, als Stützpunkt. Desweiteren benötigt man zwei Richtungsvektoren: und , welche nicht linear abhängig (nicht parallel) sein dürfen. Streckt man vom Punkt P aus die Richtungsvektoren um reelle Streckungsfaktoren und , so kann man jeden beliebigen Punkt in der Ebene erreichen.
Daraus ergibt sich dann die folgende Formel: .

Hinweis:  Sind statt    und    zwei weitere Ebenenpunkte Q und R gegeben, so kann man mit Hilfe von P, Q und R die beiden Richtungsvektoren    und    leicht bestimmen:  = ;    = .

Beispiele:

Gegeben ist die die Ebene E:  .

Für    und    soll nun der dazu gehörige Punkt gefunden werden:

Es sollen und so bestimmt werden, dass der Punkt (4 / 0 / 2) auf der Ebene E liegt:

Dies wandelt man in drei Gleichungen (ein Gleichungssystem) um:

Nun eliminiert man den Parameter in dem man II mit 2 multipliziert. Durch das Additionsverfahren fällt weg:

Man setzt in II und löst nach auf:

Für =–3 und =–3 ist .

Siehe auch: Applets "Vektorielle Ebenendarstellung", "Ebenen bestimmen" und "Ebenengleichung"

3.2 Koordinatenform

Die allgemeine Koordinatenform sieht wie folgt aus:
Sie gilt nur für die Ebene (nicht für die Gerade) im Raum.

Beispiele:

Gegeben ist die Ebene E: 
Prüfen Sie, ob der Punkt (4 / 3 / 1) auf der Ebene liegt.

Man setzt den Punkt in die Koordinatenform der Ebene ein:

Bestimmen Sie die y-Koordinate von (2 / y / 3) so, dass der Punkt auf der Ebene E liegt:

3.3 Umwandlung der Vektorform in die Koordinatenform

Man wandelt die Vektorform in ein Gleichungssystem von 3 Gleichungen mit 5 Unbekannten um (siehe Geraden im Raum oder in der Ebene), stellt den Stützvektor auf die andere Seite und wendet das Gauß-Verfahren an, mit dem man die beiden Streckungsfaktoren (Parameter) eliminiert.

Beispiel:

Die Vektorform der Ebene E soll in die Koordinatenform umgewandelt werden:

Nun stellt man den Stützvektor auf die andere Seite: 

Man erstellt drei Gleichungen (ein Gleichungssystem): 

Dann wendet man auf diese drei Gleichungen das Gauß-Verfahren an, um r₁ und r₂ zu eliminieren:

3.4 Umwandlung der Koordinatenform in die Vektorform

Um die Vektorform angeben zu können, benötigen wir einen Stützpunkt der Ebene und zwei nicht linear abhängige (nicht parallele) Richtungsvektoren. Insgesamt reicht es uns, wenn wir drei Punkte der Ebene kennen, die nicht auf einer Geraden liegen. Diese Punkte erhalten wir, indem wir in die Koordinatenform dreimal für jeweils zwei der drei Variablen x, y und z eine Zahl einsetzen und dann die übrige ermitteln. Günstig ist es, jeweils Null einzusetzen, weil wir dann Rechenschritte sparen können. Haben wir die drei Punkte, so wählen wir einen als Stützpunkt und errechnen außerdem zwei Richtungsvektoren (Spitze minus Fuß).

Beispiel 1: Aus der Koordinatenform soll die Vektorform ermittelt werden.
Wir berechnen nun drei Punkte, die ich hier A, B und C nenne:










Nun verwenden wir z. B. A als Stützpunkt und berechnen die Richtungsvektoren und :



Wenn wir nun die beiden Richtungsvektoren und den Stützpunkt A in unsere Gleichung einsetzen erhalten wir:

Beispiel 2: Die Koordinatenform soll in die Vektorform umgewandelt werden. Auffällig ist, dass wir kein und kein  d  haben. Das fehlende  d  bedeutet d = 0, d. h. die Ebene verläuft durch den Ursprung. Für das fehlende x können wir bei allen drei Punkten eine beliebige Zahl verwenden:

Da  x  frei wählbar ist, liegt dann auch  B(1 / 0 / 0)  auf der Ebene.  
Nun setzen wir für  z  zum Beispiel 1 ein:
(x = 0  ist frei gewählt.)

Jetzt verwenden wir z. B. A als Stützpunkt und berechnen die Richtungsvektoren und :




Die Ebenengleichung lautet also: 

3.5 Besondere Lagen

Eine Ebene kann folgende besondere Lagen im Raum annehmen:

1. Die Ebene kann durch den Ursprung verlaufen.
   In der Koordinatenform ist d Null und fällt damit weg:   .
   In der Vektorform fällt der Stützpunkt weg:  .
   
   
2. Die Ebene kann parallel zu einer der drei Achsen liegen.
   In diesem Fall fällt die Variable der Achse, zu der die Ebene parallel verläuft, weg, da ihr Koeffizient Null wird:
   Ist sie parallel zur x-Achse lautet die Koordinatenform: , da  a = 0.
   Ist sie parallel zur y-Achse lautet die Koordinatenform: , da  b = 0.
   Ist sie parallel zur z-Achse lautet die Koordinatenform: , da  c = 0.
   
   
3. Die Ebene kann parallel zu einer der drei Basisebenen liegen.
   In diesem Fall fallen die Variablen der Achsen, zu der die Ebene parallel verläuft, weg, da ihre Koeffizienten Null werden:
   Ist sie parallel zur xy-Ebene lautet die Koordinatenform:
   Die Vektorform:
   Ist sie parallel zur xz-Ebene lautet die Koordinatenform:
   Die Vektorform:
   Ist sie parallel zur yz-Ebene lautet die Koordinatenform:
   Die Vektorform:

Die Ebene kann auch durch den Ursprung verlaufen und parallel z. B. zur x-Achse verlaufen, diese also einschließen. In diesem Fall kombiniert man die beiden Gleichungen. Es fallen  x  und  d  weg :
Ebenfalls kann die Ebene durch den Ursprung verlaufen und parallel zu einer Basisebene, z. B. zur xy-Ebene, verlaufen. Es handelt sich in diesem Fall also um die xy-Ebene. In diesem Fall fallen  x,  y  und  d  weg: .