Für die Basis a kommen nur positive reelle Zahlen in Betracht, d. h.  a IR⁺.

Gegenbeispiel:

a = –1, x = ½ :
a^x = (–1)^½ ist in IR nicht definiert, denn es gibt keine reelle Wurzel aus –1.

Grafen:

Beschreibung:
Beide Grafen verlaufen nur durch den 1. und 2. Quadranten, haben die x-Achse als waagrechte Asymptote, steigen in IR echt monoton und schneiden die y-Achse bei  y = 1. Die y-Werte streben für größeres x sehr schnell nach +∞.
Vergleich:
Die Ordinaten des Grafen von  f(x) = 3^x  streben im Vergleich zu  f(x) = 2^x  sowohl links schneller gegen 0 als auch rechts schneller gegen +∞.

Erstens fällt auf, dass die Ableitungsgrafen prinzipiell den selben Verlauf haben wie die Ausgangsgrafen. Offensichtlich handelt es sich bei den Ableitungen ebenfalls um Exponentialfunktionen.
Zweitens fällt auf, dass sich die Ableitungsgrafen den Ausgangsgrafen für wachsende Basiswerte  a < 2,75  zunächst immer mehr von unten annähern und sich für  a > 2,75  von ihnen wieder entfernen, und zwar nach oben. Irgendwo in der Nähe von  a = 2,75  muss der Ableitungsgraf exakt auf dem Ausgangsgrafen liegen, d. h. die entsprechende Exponentialfunktion muss mit ihrer Ableitungsfunktion übereinstimmen.

Differenzenquotient:

Da für h 0 der Differenzenquotient  gegen die Ableitung von e, also gegen  e  strebt, muss der Bruch für h 0 gegen 1 streben.
Also:
h 0     1

Grenzwert für e:
Für die folgenden Überlegungen gelte  h ≈ 0.
Dann gilt:
≈ 1
  e^h – 1  ≈  h
  e^h  ≈  1 + h
  e  ≈ 

Bestimmung der Zahl e:

n
1	2
2	2,25
4	2,44
8	2,56
16	2,64
32	2,68
64	2,70
128	2,708
256	2,713
1024	2,717
2048	2,718
4096	2,718

  e ≈ 2,718

Da g(f(x)) = x gelten soll, ist die gesuchte Funktion  g  die Umkehrfunktion von f. Um die Gleichung von  g  zu ermitteln, müssen also bei der Funktion  f  x und y vertauscht werden:
f:  y = 2x – 3    
g:  x = 2y – 3    
Probe:
g(f(x)) =

Grafen von  f  und  g:

Beziehung zwischen den Grafen:
Wie bei den Grafen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion üblich, sind sie Spiegelbilder bezüglich der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten, also der Geraden  y = x.

Wenn sie in ihrem gesamten Definitionsbereich echt monoton steigt oder fällt.

Weil sie in ihrem gesamten Definitionsbereich echt monoton steigen.

Wertetabelle:

x	g(x)
	–3
	–2
	–1
1 = 100	0
10 = 101	1
100 = 102	2
1000 = 103	3

Wirkung von g:
Schreibt man das Argument von g als Zehnerpotenz, so liefert die Funktion g den Exponenten dieser Zehnerpotenz zurück.

Die max. Definitionsmenge einer Logarithmusfunktion ist gleich der Wertemenge der zugehörigen Exponentialfunktion, also stets  IR⁺.

log_ax = 0   | a^{( )}
  x = a⁰ = 1
Die gemeinsame Nullstelle aller Logarithmusfunktionen lautet also  x = 1.

f(x) = e^x – 1 = 0
  e^x = 1   | ln ( )
  x = ln 1 = 0

f(x) = e^x2+1 – e² = 0
  e^x2+1 = e²   | ln ( )
  x²+1 = 2
  x² = 1
  x_1/2 = ± 1

f(x) = e^2x – e^x – 2 = 0
  (e^x)² – e^x – 2 = 0
Substitution:   e^x = z
  z² – z – 2 = 0
  z = –1;   z = 2
Rücksubstitution:   z = e^x
  e^x = –1:  keine Lösung, da ln(-1) nicht def.;
e^x = 2     x = ln 2

f(x) = = 0
  e^x – e^–x = 0
  e^x = e^–x   | ln ( )
  x = –x
  2x = 0
  x = 0

Grenzwert von f für x 0 durch Kürzen:
f(x) = =
  (x) =     (0) = 1
Also ergibt sich durch Kürzen von f:   .
Grenzwert von f für x 0 mit der Regel von de L'Hospital:
f₁(x) = x 0;   f₂(x) = x² + x 0
 

Grenzwert von f(x) = für  x 0:
f₁(x) = e^x – 1 0;   f₂(x) = x 0
 

Grenzwert von f(x) = für x ∞ :
f₁(x) = e^x – 1 ∞;   f₂(x) = x ∞
 
Grenzwert für x –∞ :
f₁(x) = e^x – 1;   f₂(x) = x
Hier sind die Voraussetzungen für die Regel von de L'Hospital nicht erfüllt, denn f₂(x) –∞, aber f₁(x) –1.
Wenn der Zähler eines Bruches gegen einen konstanten Wert und der Nenner gegen –∞ streben, dann strebt der Bruch gegen  0.
  Für  x –∞  gilt  f(x) 0.

Verhalten von f(x) für x ± ∞ :
f(x) = ± ∞

Verhalten von f(x) für x 0 :
f(x) =   0

Verhalten von f(x) für x 0 :
f(x) =   ??
f(x) = =
f(x) = ;   f(x) =
f₁(x) ∞;   f₂(x) ∞
Anwendung der Regel von de L'Hospital:

x ± ∞     f(x) =   x
  Gleichung der schiefen Asymptote:  y = x

Skizze des Grafen von f:

a)  ∫e^xdx = e^x + c,  c IR.
b)  ∫e^2xdx = 0,5·e^2x + c,  c IR.
c)  ∫e^–x+1dx = –e^–x+1 + c,  c IR.

∫e^ax+bdx = e^ax+b + c,  c IR.