Der Natürliche Logarithmus von x, kurz: ln x, ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion f(x) = e^x.
Es gilt also: ln(e^x) = x für alle x IR sowie e^{ln x} = x für alle x IR⁺.

Die Grafen der e-Funktion und des natürlichen Logarithmus sind Spiegelbilder zueinander, und zwar bzgl. der Geraden  y = x.

Graf der ln-Funktion:

Die Funktion  f(x) = ln x  hat folgende Eigenschaften:
•  Die Definitionsmenge ist IR⁺, die Wertemenge IR.
•  Ihr Graf hat die senkrechte Asymptote  x = 0.
•  Die einzige Nullstelle ist  x = 1.
•  Für  0 < x < 1  hat sie negative Werte, für  x > 1  positive Werte.
•  Für  x +0 strebt sie nach –∞; für  x +∞ strebt sie nach +∞.
•  In ihrer gesamten Definitionsmenge steigt sie streng monoton.
•  Ihr Graf ist überall rechtsgekrümmt.

f(x) = ln x – 1  ist nur für  x > 0  definiert, d. h. ID_f = IR⁺.
Nullstelle:  ln x – 1 = 0     ln x = 1     e^{ln x} = e¹     x = e

f(x) = ln(x²–1) – ln 3  ist nur für  x²–1 > 0  definiert, d. h. ID_f = ]–∞ ; -1[ ]1 ; +∞[.
Nullstellen:
ln(x²–1) – ln 3 = 0     ln(x²–1) = ln 3     x²–1 = 3     x² = 4     x_1/2 = ±2

f(x) = (ln x)² + ln x – 2  ist nur für  x > 0  definiert, d. h. ID_f = IR⁺.
Nullstellen:  (ln x)² + ln x – 2 = 0
Substitution: ln x = z     z² + z – 2 = 0     z₁ = 1;   z₂ = –2
Rücksubstitution: z = ln x,   also   ln x = 1     x = e
                                              oder   ln x = –2     x =

f(x) = (x² – 1)·ln(x² + 1,5x)  ist nur für  x² + 1,5x > 0  definiert:
      ID = ]–∞ ; –[ ]0 ; +∞[.
Nullstellen:
(x² – 1)·ln(x² + 1,5x) = 0     x² – 1 = 0             ln(x² + 1,5x) = 0
                                                     x² = 1                 x² + 1,5x = e⁰ = 1
                                                                                    x² + 1,5x – 1 = 0
                                               x₁ = –1 ID_f               x₃ = –2 ID_f
                                                x₂ = 1 ID_f                x₄ = 0,5 ID_f
Die Nullstellen sind also   –2,   0,5   und   1.

Erste Darstellung von f:               Zweite Darstellung von f:
f(x) = x                                      f(x) = e^{ln x}    
f '(x) = 1                                         f '(x) = e^{ln x}·(ln x)' = x·(ln x)'
Also gilt: 1 = x·(ln x)'    

f(x) = ln x – 1     f '(x) =
f(x) = ln(x–1) – ln 3     f '(x) =
f(x) = (ln x) + ln x – 2     f '(x) = 2(ln x)· + = (1 + 2 ln x)
f(x) = (x – 1) · ln (x + 1,5x)     f '(x) = 2x · ln (x + 1,5x) + (x – 1) ·

Für  a IR⁺,  m,n IR,  p = a^m,  q = aⁿ  gilt:

am·an = am+n	am:an = am–n	(am)n = am·n
log (p · q) = log p + log q	log (p : q) = log p – log q	log (pn) = n · log p

Da g(x) = ln 2x = ln 2 + ln x = f(x) + ln 2 gilt, geht der Graf von g aus dem Grafen von f durch Verschiebung um ln 2 nach oben hervor.

Für  x > 0  sind die Terme  ln x²  und  2 ln x  identisch, haben also die selben Grafen. Für  x < 0  ist jedoch nur noch  ln x², nicht aber  2 ln x  definiert.
Da  f(x) = ln x²  einen zur y-Achse symmetrischen Grafen hat, lässt sich also folgern, dass der Graf von g nur aus dem rechten Ast des Grafen von f besteht:

Die Betragsstriche erweitern den Definitionsbereich von g von IR⁺auf IR\{0}, so dass jetzt die Grafen von f und g übereinstimmen.

Widerlegung:
f(x) = ln ;   g(x) = ln x – ln (x – 2)  
ID_f = ]–∞; 0[ ]2; +∞[ ;     ID_g = ]2; +∞[ .
Da die Definitionsbereiche nicht übereinstimmen, ist die Behauptung  f = g  falsch.
Die Behauptung lässt sich aber korrigieren:
Innerhalb der Definitionsmenge von  f  stimmen die Terme ln ,  ln ||  und ln |x| – ln |x – 2|  überein.

f(x) = hat die Definitionsränder  0 und +∞ .
Für  x > 0  gilt:  = – ∞ .
Für  x ∞  gelten für  f  die Voraussetzungen von de L'Hospital:
= = 0.

f(x) = hat die Definitionsränder  0,  1  und +∞ .
Für  x > 0  gilt:  = + ∞ .
Für  x 1  gelten für  f  die Voraussetzungen von de L'Hospital:
= = 1.
Für  x ∞  gelten für  f  auch die Voraussetzungen von de L'Hospital:
= = 0.

f(x) = x · ln x hat die Definitionsränder  0  und  +∞ .
Für  x +0  gelten für  f  nach Umwandlung in einen Quotienten die Voraussetzungen von de L'Hospital:
(x · ln x) = = = (–x) = 0.
(x · ln x) = + ∞ .

a)  ∫dx  = ln x + c  für x > 0

b)  ∫dx  = ln (x–1) + c  für x > 1

c)  ∫dx  = ln (2x+2) + c  für x > –1

d)  ∫dx  = –3 ln (1–x) + c  für x < 1

e)  ∫dx für x > 0,5
     
        ∫dx  = x + ln (2x–1) + c  für x > 0,5

=

a)  (ln x)' =   für x > 0;       b)  (ln (–x))' =   für x < 0
c)  (ln (x–1))' =   für x > 1;       d)  (ln (1–x))' =   für x < 1
e)  (ln (2x+4))' =   für x > –2;
f)  (ln (–2x–4))' =   für x < –2

a)  f(x) = , x IR\{0}    
b)  f(x) = , x IR\{1}    
c)  f(x) = , x IR\{–2}    
d)  f(x) = , x IR\{2}