Abschlussprüfung zur Erlangung der fachgebundenen Hochschulreife
Frühjahr 2001

A I:   Lösungen

1.1   f(–x) =  = –  = –f(x)   
        Gf ist punktsymmetrisch bzgl. des Koordinatenursprungs.
        x = 2  ist  Definitionslücke, da der Nenner dann 0 wird.
        Verhalten von f bei  x = 2:

	x <	2	< x
Zähler von f	+	8	+
Nenner von f	–	0	+
f(x)	–	–∞ / +∞	+

        Wegen der Punktsymmetrie gibt es also zwei senkrechte Asymptoten mit den Gleichungen
        x = –2  und  x = 2. 
        Außerdem gibt es eine schiefe Asymptote, da der Zählergrad von  f
        um 1 größer ist als der Nennergrad.
        Ihre Gleichung wird durch Polynomdivision ermittelt:
        
           Gleichung der schiefen Asymptote:  y = x


1.2   f '(x) =  =  =  = 0
           x–12x = 0     x(x–12) = 0     x = 0;   x = ± = ±2
        Der Nenner von  f '  ist in  IDf  immer positiv. Also hängt das
        Vorzeichen von  f '  nur von seinem Zähler ab. 
        x = 0  ist doppelte Nullstelle von  f '     TEP(0 | 0)
        Bei  x = 2 wechselt das Zählervorzeichen von  –  nach  +   
        TIP(2 | 3)
        Punktsymmetrie von G bzgl. O     HOP(–2 | –3)


1.3   
        In der Grafik ist die durch das Integral    beschriebene
        Fläche grau hervorgehoben. Diese Fläche lässt sich grob in halbe
        Planquadrate mit dem Flächeninhalt  0,5 FE. zerlegen.
        Da sich etwas mehr als 6 halbe Planquadrate ergeben, resultiert
        für das Integral ein Wert von ca. 3.


1.4   F(x) = a·x + b·ln(x– 4)    
         
        Die Fläche von  1.3  berechnet sich demnach wie folgt:
         


1.5   f(x) = ;    f(x) =  = m·f(x)
        Für m > 0 gilt das Vorstehende mit der Abwandlung, dass die
        schiefe Asymptote jetzt die Gleichung  y = m·x  hat und auch die
        Ordinaten der Extrempunkte noch mit m multipliziert werden. 
        Für  m > 1  sind alle Ordninaten im Vergleich zu denen der
        Funktion  f  gestreckt, für  0 < m < 1  gestaucht. 
        Für m < 0 ist der Graph im Vergleich zu m > 0 an der x–Achse
        gespiegelt, d. h., das Verhalten an den Definitionslücken dreht sich
        um, und die Extrempunkte tauschen ihre Art.



2.1   Das Argument vom  ln  muss positiv und der Nenner darf nicht 0 sein    
        IDg = IR+ \ {1}
        Skizze: 
        
        Für  x  0 gilt  ln x  –∞      g(x)  – 0.
        Für  x  ∞ gilt  ln x  +∞      g(x)  + 0.
        Für  x  1+ gilt  ln x  0+      g(x)  + ∞.
        Für  x  1- gilt  ln x  0-      g(x)  – ∞.
        Da die ln-Funktion in ihrem Definitionsbereich überall steigt, muss  g
        als ihre Kehrwertfunktion überall fallen.


2.2   
            Der Graf von  g()  ist das Spiegelbild des Grafen von  g  an der x-Achse.



3.1   
        Alle Ergebnisse haben die Einheit hPa. 


3.2   
        Der Bergsteiger befindet sich  328 m  über dem Ausgangsniveau. 


3.3   
        Dieses Ergebnis lässt sich für  p(h0+ε)  übernehmen,
        wenn der Graf von  p  noch ungefähr mit seiner Tangente in  P  übereinstimmt,
        d. h. für  ε ≈ 0.

A II:   Lösungen

1.1   
        Monotonietabelle von f: 

 
x   <
ln 4
<   x
f '(x)
–
0
+
Graf
fällt
TIP ( ln 4 | 2 – 4 ln 2)
steigt



1.2   ,
        d. h. die Gerade  y = –2 x  ist für  x  – ∞  Asymptote des Grafen von f        
        Für  x  – ∞  strebt  f(x)  + ∞. 
        Für  x  + ∞  steigt der Graf von f, und  f '(x)  + ∞        f(x)  + ∞.


1.3   Da  f  für  x < ln 4  echt monoton abnimmt und für  x > ln 4  echt monoton zunimmt,
        hat  f  genau dann zwei Nullstellen, wenn sein Graf einen Punkt unterhalb der x-Achse
        besitzt. Das ist beim Tiefpunkt aber der Fall. 
        Berechnung einer Nullstelle mit dem Startwert  x0 = 0: 
        

1.4   Graf: 
        


1.5   



2.1   


2.2   Bestimmung von IDg:   0,5 x + 1 > 0       x > –2,  also:  IDg = ] –2 ; +∞ [.
          in ID       g  steigt in  ID  streng monoton.


2.3   f(0) = 0,5      g(0) = 0,5 ln 1 + 0,5 = 0,5       φ  ist bei  x = 0  stetig. 
        f fällt für  x < 0  und  g steigt in seinem ganzen Def.bereich, also auch für  x > 0    
        φ  hat bei  x = 0  ein Minimum.



3.1   Im Ansatz  D(t) = D  bedeutet  D  die BRD-Population im Jahre 2001,
        D(t)  die BRD-Population  t  Jahre später. Die Basis 0,999 der Potenz drückt aus,
        dass die deutsche Bevölkerung pro Jahr um ein Tausendstel abnimmt. 
        Die Formel  ab = eb ln a  lautet hier:  0,999t = et ln 0,999 = e–0,0010 t    
        D(t) = D = 
        Für die Kongo-Population gilt: 
        


3.2   
        Die Bevölkerung des Kongo wird sich 22 Jahre später, also im Jahre 2023 verdoppelt haben.
        
        Im Jahre 2015 werden die Einwohnerzahlen von Deutschland und Kongo gleich groß sein.