1.1     


1.2     


1.3     Nullstellen von  f ':    –x2 + 1 = 0       x2 = 1       x1 / 2 = ± 1 
          Monotonieverhalten von f:

          Nullstellen von  g ':    –2x + 1 = 0       2x = 1       x = ±   ≈  ± 0,707
          Monotonieverhalten von g:

	x <	–	< x <		< x
quadr. Faktor der Ableitungsfkt.	–	0	+	0	–
exp. Faktor der Ableitungsfkt.	+	+	+	+	+
Steigung	–	0	+	0	–
Graph	fällt	TIP (–0,707 | –0,429)	steigt	HOP (0,707 | 0,429)	fällt

1.4     
          Wäre f(x0) für  x0  ] 0 ; ∞ [  kleiner als  g(x0), so müsste  h(x0) < 1  gelten, so dass  h
          im Intervall  ] 0 ; x0 [  irgendwann fallen müsste, um vom Wert  1  auf einen Wert < 1
          zu kommen. Das ist aber nicht möglich, da  h  in  ] 0 ; ∞ [  streng monoton steigt.


1.5     


1.6     



2.1     Die Funktion  k2  ist die Umkehrfunktion der Funktion  k1. Also ist die Gerade  y = x
          die Symmetrieachse ihrer Grafen. Da der Graf von  k3 auf dieser Geraden senkrecht steht,
          ist auch er zu ihr symmetrisch.
          Also muss auch die schraffierte Fläche die Symmetrieachse  y = x  besitzen.


2.2     Q besitzt genau dann die Abszisse 1, wenn der Schnittansatz
          ex = –x + (e + 1)  die Lösung 1 hat:
          e1 = –1 + e + 1  ist eine wahre Aussage!
          Q(1 | e)       R(e | 1)  wegen der Achsensymmetrie zu  y = x.
          Berechnungsplan für die schraffierte Fläche A:
          A  =  Fläche des Dreiecks, das der Graf von k3 mit den Achsen einschließt
                  – 2 · Restfläche zwischen den Grafen von k3 und k1 im  I. Quadranten
              

1.1     


1.2     Für das Verhalten von  f(x)  für  x  ± 1  reicht die Untersuchung des Bruchterms:

	x <	–1	< x <	0	< x <	1	< x
3x	–	–	–	0	+	+	+
x2–1	+	0	–	–	–	0	+
f(x)	–	–∞ / +∞	+	0	–	–∞ / +∞	+

              zwei senkrechte Asymptoten:  x = ± 1 
          Außerdem geht aus der zerlegten Form von  f  hervor, dass  Gf  die schiefe Asymptote
          y = –x  besitzt.


1.3     
          Graf von f und Asymptoten :
          


1.4     


1.5     



2.1     
          Der Wert der Ableitung  T '(0)  besagt, dass sich die Flüssigkeit
          in der ersten Sekunde um etwa  0,5 °C  abkühlt. 
          Der Grenzwert drückt aus, dass die Flüssigkeit nach längerer Zeit
          die Umgebungstemperatur von  20 °C  annimmt.


2.2     
          Nach 270 Sekunden hat sich die Flüssigkeit um  55 °C  abgekühlt.



3.       Wenn für  x  –∞  g(x)  1  gilt, dann müssen  a = 1  und  b·ecx  0  gelten.
          Da  b nicht null sein kann (sonst wäre  g(x) = 1,  hätte damit keine Nullstelle
          und schnitte die y-Achse nicht bei  y = –3), muss  ecx  0  gelten, was für  x  –∞
           nur für positives  c  möglich ist. Die Funktion  g(x)  ist damit auf jeden Fall streng
          monoton, kommt von  y = 1  und schneidet die y-Achse bei  y = –3, muss also
          streng monoton fallen. Das ist nur für ein negatives  b  möglich, da  c > 0.
          Dann kann sie aber nicht die positive, sondern muss die negative x-Halbachse
          schneiden, z. B. bei  x = –2. 
          Bestimmung von b und c: 
          I.    g(0) = –3       1 + b·e0  =  –3       b = –4
          II.   g(–2) = 0       1 – 4·e–2c = 0       e–2c  = 0,25       –2c = ln 0,25       c = ln 2.