Abschlussprüfung zur Erlangung der fachgebundenen Hochschulreife
Frühjahr 2002

B I:   Lösungen

1.1     


1.2     Die vier Ebenen bilden ein LGS von 4 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
          Lösung mit Hilfe des Gauss-Algorithmus: 
          
          Da die letzte Zeile eine wahre Aussage liefert und die anderen Zeilen den Rang 3 haben,
          ist das LGS eindeutig lösbar, d. h. die vier Ebenen haben genau einen Punkt gemeinsam.
          III         x3 = 48
          in II       –3x2 + 48 = 0       x2 = 16
          in I        20x1 + 384 + 336 = 960       x1 = 12
              S(12 | 16 | 48)


1.3     Jeder Punkt P(k | 0 | 0) der x1-Achse mit  kIR  liefert mit E1 eine wahre Aussage
              x1-Achse  E1.


1.4     A(k | 0 | 0)  in  E3:    4k = 96       k = 24,  also  A(24 | 0 | 0)
          C(0 | m | 0)  in  E2:    24m = 960       m = 40,  also  C(0 | 40 | 0)
          Schnittgerade von  E2 und  E3:
          



2.1     


2.2     


2.3     



3.       

B II:   Lösungen

1.1     


1.2     

          Kürzer: 
          h || E     g  E       g  und  h  sind entweder parallel oder windschief.
          Richtungsvektoren von  g  und  h  nicht parallel       g  und  h  sind windschief.


1.3     E liegt parallel zur x1-Achse.
          x1x3-Ebene:   x2 = 0    in  E       x3 = –1 ;    x1 beliebig          
          Schnittgerade s :    



2.       In vektorieller Darstellung der Polynome wird angesetzt: 
          
          Ein beliebiges Polynom dieses Vektorraumes V hat die Form  p = ax2 + bx + c,
          ist also durch die drei reellen Parameter  a, b und c  eindeutig definiert       dim (V) = 3.
          Da in einem Vektorraum der Dimension 3 drei linear unabhängige Vektoren automatisch
          eine Basis bilden, gilt dies auch für die gegebenen Polynome bezüglich V. 
          Koordinaten  k1, k2 und  k3  des Polynoms  p4  bezüglich dieser Basis:
          



3.1     


3.2     


3.3