Abschlussprüfung zur Erlangung der fachgebundenen Hochschulreife
Frühjahr 2005

A I:   Lösungen

1.1	Der Zähler des Arguments hat die Nullstelle  x = 2, der Nenner  x = 0.

	Vorzeichentabelle des Arguments der Logarithmusfunktion:

	

	Da der natürliche Logarithmus nur für positive Argumente definiert ist, folgt aus der Tabelle:
	D(f) = IR \ [0;2].

	
	 senkr. Asymptote: x = 0

	
	 senkr. Asymptote: x = 2

	
	 waagr. Asymptote: y = 

	Nullstelle von f: 
	


1.2	 > 0 in D(f)

	 f steigt echt monoton in  .


1.3	


1.4	F '(x) = f(x) = 0        x = –1
	f  wechselt bei  x = –1  von – nach +      F hat bei  x = –1  einen Tiefpunkt.

	F ''(x) = f '(x) > 0 in D(F)        Der Graph von F ist in ganz  D(F)  linksgekrümmt.



2.1	2x – 4 = 0        x = 2  
	Der Nenner wechselt bei  x = 2  von – nach + und der Zähler ist dort positiv. Also gilt:
	
	Folglich ist  x = 2  eine senkrechte Asymptote.

	Da der Zählergrad von g um 1 größer ist als der Nennergrad, gibt es außerdem eine schiefe
	Asymptote, deren Gleichung durch Polynomdivision ermittelt wird: 
	
	Also lautet die Gleichung der schiefen Asymptote  y = 2x + 3.


2.2	Der Graph von g verläuft genau dann oberhalb seiner schiefen Asymptote y = 2x + 3, wenn
	der echt-gebrochen-rationale Anteil von g positiv ist:
	


2.3	



3.1	p(0) =  = 125 ;     

	


3.2	  gibt das momentane Wachstum der Anzahl der Pilze zum Zeitpunkt  t  an.

	
	da Zähler und Nenner positiv sind.
	Also nimmt die Anzahl der Pilze im gesamten Beobachtungszeitraum echt monoton zu.


3.3	
3.4	

A II:   Lösungen