Abschlussprüfung zur Erlangung der fachgebundenen Hochschulreife
Frühjahr 2005

B I:   Lösungen


1	Die drei Vektoren müssen linear unabhängig sein, d.h. die Matrix, die sie miteinander bilden,
	muss den Rang 3 haben:

	

	d. h. genau für \{–0,75 ; 0} ist der Rang der Matrix gleich 3, sind also die drei Vektoren
	linear unabhängig und bilden daher eine Basis des  .



2.1	E:  ax1 + bx2 + cx3 = d
	A,  B  und  C  in  E  eingesetzt ergibt ein LGS:

	

	Für  d = –25  ergeben sich  a = 3,  b = 0  und  c = 4.
	Also besitzt  E  die Gleichung  3x1 + 4x3 + 25 = 0  und ist somit parallel zur x2-Achse.


2.2	


2.3	
	Also liegt  S  bzgl.  M  auf der „Gegenseite“ von  C,  genauer:  M  ist die Mitte zwischen  S  und  C.
	Skizze:		

2.4	ha in  E:
	3(–1 + 8s) + 4(7 – 6s) + 25 = 0
	–3 + 24s + 28 – 24s + 25 = 0
	50 = 0 :  falsche Aussage!
	Also haben die Geraden  ha  mit  E  keinen gemeinsamen Punkt, sind also zu  E  echt parallel.

	

	Man erkennt, dass für  a = –30  der Rang der Koeffizientenmatrix gleich 1 und sonst 2 ist.
	Der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist jeweils um 1 größer.
	Daraus folgt, dass die Geraden  g  und  ha für  a = –30  echt parallel und sonst windschief sind.

	Rechnerisch einfacher, aber gedanklich anspruchsvoller, ist der folgende Lösungsweg:
	Eben wurde gezeigt, dass die Geraden  ha echt parallel zu  E  verlaufen, und nach Aufgabe 2.2 ist klar,
	dass  g  in  E  liegt. Damit ist klar, dass  ha und  g  nur entweder echt parallel oder windschief
	verlaufen können. Um herauszufinden, wann welcher Fall zutrifft, braucht man also nur die beiden
	Richtungsvektoren zu vergleichen:
	
	Daraus folgt wieder, dass die Geraden  g  und  ha für  a = –30  echt parallel und sonst windschief sind.



3.1	Verflechtungstabelle:

	

	Aus der Tabelle folgt:  a11 = 0;  a23 = 20;  y3 = 130
	Die Inputmatrix  A  ergibt sich, indem die P-Spalte durch 100, die Q-Spalte durch 160
	und die R-Spalte durch 200 dividiert wird: 
	


3.2	


3.3	
	Die Summe der Marktabgaben beträgt also  S(t) = –8t3 + 24t + 220 .
	Bestimmung des Maximums:  S '(t) = –24t2 + 24 = 0        t = 1
	(t = –1  ist uninteressant, denn es liegt nicht zwischen 0,5 und 3.)
	Bei  t = 1  liegt ein Maximum von  S  vor, da dort die Steigung von + nach – wechselt.
	Da  S  nur für  t < –1  größer werden kann als bei  t = 1, wird die Summe der Marktabgaben
	im Intervall  [0,5 ; 3]  für  t = 1  am größten.

B II:   Lösungen

 

1.0

Konsumvektor

 
1.1

Gefragt ist der Produktionsvektor

Formel:



Mit Gaußverfahren

      

Produktionsvektor

 

1.2

Aus

  

folgt

  

Inputmatrix

Produktionsvektor aus der Aufgabe 1.1. entnehmen!

Input - Output - Tabelle



Gozintograph:


1.3
Bereich W:

gleiche Produktion in den Bereich U und V:
und wird mit a ausgedrückt, wobei ist.
; Konsum ist immer Positiv!!!

Formel:



In Formel einsetzen:

Antwort: Für die in den Teilbereichen U und V möglichen Produktionsmengen a gilt:

 

2.0

Gaußverfahren:

 

 

unendlich viele Lösungen, wenn

n  =  3
Rg (A) = 2
Rg (A|B) = 2
Lösbarkeit: mehrdeutig lösbar!

keine reelle Lösung, wenn

n  =  3
Rg (A) = 2
Rg (A|B) = 3
Lösbarkeit: nicht lösbar!


genau eine Lösung, wenn

Logische Überlegung: angenommen r = 3

n  =  3
Rg (A) = 3
Rg (A|B) = 3
Lösbarkeit: eine eindeutige Lösung

 

3.0

Die Gerade G verläuft durch den Punkt und .
Die Gerade i verläuft durch den Punkt und

 

3.1

Die Gerade g ermitteln


Punkt A in h für einsetzen:

, I und II sind widersprüchig, deshalb sind g und h nicht identisch.

Betrachtung der Richtung:

, g und h haben die gleiche Richtung

Antwort: Die beiden Geraden g und h verlaufen echt parallel zueinander.

 

3.2
Die Ebene F enthält die Geraden g und h:

 

Gaußverfahren:

Wir stellen die Parameterform der Ebenengleichung in folgender Weise um:

Dieses Gleichungssystem formen wir nach dem Gaußverfahren solange um, bis in der unteren Zeile auf der linken Seite nur Nullen stehen. Diese Umformung erübrigt sich hier!
Damit erhalten wir eine parameterfreie Darstellung der Ebenengleichung. In unserem Beispiel können wir sofort die Gleichung ablesen:

Antwort: Ebene F liegt Parallel zur - Basisebene

 

Alternative Methode: Kreuzprodukt (Vektorprodukt)

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ergibt einen Vektor, der zu beiden senkrecht steht (s. Formelsammlung S.80). Bildet man also das Kreuzprodukt der zwei Richtungsvektoren, so erhält man den Normalenvektor der Ebene:

Berechnung nach nebenstehenden Schema
(vgl. Formelsammlung S.80):

Die Ebenengleichung lautet , also

, wobei c durch Einsetzen eines Punktes der Ebene bestimmt wird.

Aufpunkt einsetzen

daraus folgt:

 

3.3

Durch die Aufgabe 3.2 wissen wir, dass die Geraden g und h sowie der Punkt T auf der Ebene F liegen. Auch entnehmen wir daraus, dass die Ebene F parallel zur - Basisebene liegt.

Gleichung der Geraden i durch die Punkte R und S.


Ebenengleichung

Schnittpunkt der Geraden i und der Ebene F ausrechnen.

I und II wird nicht gebraucht!(siehe Aufgabe 3.2)

III. in die Ebene F einsetzen

in i einsetzen

Punkt

Nun stelle ich eine Hilfsgerade m auf, die durch T geht und Parallel zur - Achse ist.

Die Hilfsgerade m liegt auch auf der Ebene F!

Nun wird m mit g geschnitten. Diesen Schnittpunkt nennen wir P.

Die Umformung nach Gauß erübrigt sich, da bereits genügend Nullen vorhanden sind. Wir erhalten
und .

Einsetzen in die Gerade m:

Schnittpunkt

 

Die Geraden m und h werden geschnitten. Diesen Schnittpunkt nennen wir Q.

Wie oben erhalten wir sofort und

Einsetzen in die Gerade m

Schnittpunkt

Logische Überlegung:

Nun ordnet man die drei Punkte nach ihren x1-Werten auf der Hilfsgeraden m an.

Ebene F

Somit ist die Skizze a zutreffend.

 

Bemerkung:

Statt der Hilfsgeraden m könnten wir auch die Gerade AT nehmen (A liegt auf g), dann den Schnittpunkt mit h berechnen und ähnlich wie oben überlegen, wie dieser Schnittpunkt bezüglich A und T liegt.