Abschlussprüfung zur Erlangung der fachgebundenen Hochschulreife
Frühjahr 2007

B I:   Lösungen

1.1	,    und    bilden genau dann eine Basis des , wenn sich aus ihnen der Null-
	 vektor nur auf triviale Weise linear kombinieren lässt, d. h. wenn die Gleichung
	   nur die Lösung    hat.

	 
	 Die zweite Gleichung    hat für    nur die Lösung . 
	 In diesem Fall ergeben die dritte und die erste Gleichung dann auch  und ,
	 so dass die drei Vektoren ,    und    für alle   eine Basis des  bilden.
	 Linearkombination von  aus den drei Basisvektoren für  t = 0:

	 
	 Die letzte Gleichung liefert  , womit sich aus der zweiten Gleichung  
	 und dann aus der ersten Gleichung   ergeben.
	 Also gilt:  .



1.2	Das Gleichungssystem der drei Ebenen E, F und G führt genau zum zweiten Gauß-
	 Algorithmus von Aufgabe 1.1, so dass sich mit dessen schon bekannten Lösungen
	 der gemeinsame Ebenenpunkt S(1 | 2 | 3) ergibt. Daraus wie auch aus den Koeffizienten
	 der Ebenen F und G wird deutlich, dass diese nicht zueinander parallel verlaufen.
	 Da ihr Koeffizient von  jeweils 0 ist, verlaufen beide parallel zur .
	 Die Differenz ihrer Gleichungen liefert . Setzt man diesen Wert in F ein,
	 so ergibt sich , so dass z. B. der Punkt P(0 | 2 | 3) auf F und G liegt.
	 Wegen der Parallelität von F und G zur  müssen folglich auch Q(1 | 2 | 3)
	 und R(2 | 2 | 3) auf F und G liegen.


1.3	Da G, nicht aber E wegen seines von 0 verschiedenen Koeffizienten von 
	 zur  verläuft, ist nur Zeichnung b) richtig.




2	 Die gesuchte Ebene H muss die  enthalten. Man wählt z. B. die Ebene,
	 die zudem durch den Punkt P(0 | 1 | 1) verläuft.
	 Deren Parameterform lautet:  
	 Ihre Koordinatenform enthält  eine Konstante. Da P(0 | 1 | 1) auf H liegt,
	 lautet die Koordinatenform von H:  .




3.1	Input-Output-Tabelle:

	 


3.2	



3.3.1	


3.3.2	Mit  folgt aus 3.3.1:
	 


3.3.3	

	 Da der Graph von G linear ansteigt, wird das Gewinnmaximum bei der größtmöglichen
	 Produktion von Werk V, also für  erzielt.
	 Das Gewinnmaximum beträgt demnach G(70) = (26 · 70 – 760) GE = 1060 GE.

B II:   Lösungen