Nr.

Lösungsvorschlag A I

BE

1.1

D =IR \{0;1}; f(x)=; Nullstelle: x=0,5; x 0: f(x) 0, d.h. x=0 ist stetig behebbare Def.lücke. x Z(x): f(x) ±∞ , d.h. x=1 ist Unendlichkeitsstelle.

7

1.2

(2x-x): (2x-2)=x+0,5+; senkrechte Asymptote: x=1; schiefe Asymptote: y= x+0,5; f (x)–y =>0 für x>1, d.h. G(f) verläuft für 1<x<∞ oberhalb und für –∞<x<0 bzw. 0<x<1 unterhalb der Asymptote.

7

1.3

f ´(x)==     f ´(x)=0 für x= 1±; VZW von Z an der Stelle x= 1+von - nach + : Minimalstelle, bei x =1– ist der VZW umgekehrt: Maximalstelle. HP(0,29|0,09) ; TP(1,71|2,91)

8

1.4

f(–3)≈–2,62
f(3)≈3,75

5

1.5

F ´(x)= c(2x+1+)= 2c(x+0,5+)= 2c·f(x); F´(x)=f(x) c=0,5. =

8

2.1

d.h. g ist stetig bei x=0 für b=0.
Für 0<x<2 ist g´(x)=; und , also ist g bei x=0 differenzierbar, falls b=0 und a=0,5 ist. g ist stetig bei x=2, falls ist, also für m=0,5ln3.

8

2.2

g´(x)=0,5;, d.h. g ist bei x=2 nicht diff.bar.
g´´(x)= ; alle Faktoren sind für x>0 positiv, also
ist g´´(x) positiv in ]0;2[, d.h. G_g ist linksgekrümmt. + Zeichnung

7

3.1

d(50)=; d(100)=. Der Durchmesser beträgt 0,38 m bzw. 0,88 m

2

3.2

t0: d(t) ≈0,047; t∞: d(t) 1. Dieses mathematische Modell geht davon aus, dass der Fichtendurchmesser nie größer als 1,0 Meter wird und dass ein Setzling bereits einen Durchmesser von ca. 5 cm besitzt.

4

3.3

Aus U=1,80 m ergibt sich mit U=dπ für die Maßzahl: d≈0,573.
1+e^{–0,05(t–60)}= ; –0,05(t–60) = ln(–1); t = 60–20ln(–1); t ≈ 66
Ein solcher Baum ist ca. 66 Jahre alt.

4

Σ =

60

Nr.

Lösungsvorschlag A II

BE

1.1

2–x>0; D(g)=]–∞;2[; g(x)=0 für x=1; x–∞: g(x)∞; x2: g(x)–∞

4

1.2

g´(x)=; für x<2 ist g´(x)<0, also ist G(g) streng monoton fallend; g´´(x)=; G(g) hat also weder Extrem- noch Wendestellen.

5

1.3

und

2.5

Graphen von g (Aufgabe 1.3) und f (Aufgabe 2.5):

3

3

1.4

S´(x)=a·ln(2–x)–(ax+b)/(2–x)+c=a·ln(2–x)+; S´(x)≡g(x) für a=2
und –a–c=0 und –b+2c=0, also b=–4 und c=–2.

10

2.1

Die Nullstelle von g ist Def.lücke von f: D(f)=]–∞;2[\{1}; x–∞: f(x)0;

5

2.2

f ´(x)=; zwar ist f´(x)>0 in D(f); das Monotoniekriterium ist aber nur auf den (größtmögl.)Intervallen I₁=]–∞;1[ sowie I₂=]1;2[ anwendbar.

5

2.3

f ''(x)= ; f ''(x)=0 für x_w=2–e^–2; da der Zähler von f '' streng mon. abnimmt (vgl.1.2), wechselt f ''(x) das Vorzeichen, also hat G(f) einen Wendepkt.
f(2–e^–2)=1/(ln e^–2)=–0,5.

6

2.4

g(x)=f(x)  
2ln(2–x)=1/ln(2–x) (ln(2–x))=0,5 ln(2–x)= x=2–
x₁≈–0,03;   x₂≈1,51

4

3.1

W(x)=; durch W(x)>1 wird gemessen, bei welchen Prod.zahlen der Ertrag größer als der Aufwand ist . W(x)>1 0,0004x²-0,6x+200< 0 x]500;1000[.

5

3.2

W´(x)=; W´(x)=0 x =≈707; W´ hat bei x≈707 VZW von + nach –, also (absolutes) Maximum; W()≈1,06.

5

3.3

G(x)=E(x)–A(x); G´(x)= 0,6–0,0008x; G´(x)=0 x=750; da der Graph von G eine nach unten geöffnete Parabel ist, handelt es sich um das abs. Max. von G. Der Unterschied zu 3.2 ist so zu erklären, dass dort das Verhältnis des Erlöses bezogen auf den Aufwand maximal ist, hier der Gewinn unabhängig vom Aufwand. In Zahlen: W(750)≈1,059<W(707)≈1,061; G(750)=25>G(707)≈24,3

5

Σ =

60