Bestimmen Sie ID_f und die Nullstellen von f und untersuchen Sie das Verhalten von f(x) an den Rändern der Definitionsmenge.   (5 BE)

Ermitteln Sie die Art und die Lage des Extrempunktes sowie die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen von f (Nachweis ohne Verwendung der dritten Ableitung).   (9 BE)

(Zwischenergebnis: f ' (x) = )

Stellen Sie die Gleichung der Wendetangente t des Graphen von f auf. Zeichnen Sie die Tangente t und den Graphen von f unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse für x ] 0 ; 10 ] in ein kartesisches Koordinatensystem. (6 BE)

Bestimmen Sie die reellen Koeffizienten b und c so, dass die Funktion
F: x –x·(ln(x))² + bx·ln(x) + cx in ID_f eine Stammfunktion von f ist, und berechnen Sie den Inhalt der endlichen Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse einschließt.   (10 BE)

Nun ist die Funktion  g: x g(x) =  mit Definitionsmenge ID = ] 0 ; ∞ [  gegeben.

Begründen Sie durch eine genaue Untersuchung der Zählerfunktion, dass g keine Nullstelle besitzt.   (5 BE)

Zeigen Sie, dass der Graph von g für x > 1 stets unterhalb seiner schiefen Asymptote verläuft. Berechnen Sie sodann den Inhalt der endlichen Fläche, die der Graph von g für  x 1  mit der Asymptoten und der Gerade  x = 3  einschließt.   (7 BE)

Ein Kubikzentimeter Kuhmilch enthielt 2 Stunden nach dem Melken 2824 Keime, eine weitere Stunde später 3389 Keime. Mit  a( t )  werde die Anzahl der Keime zum Zeitpunkt t (in Stunden) bezeichnet, mit a₀ die Anzahl der Keime zum Zeitpunkt t = 0 und mit k die Wachstumskonstante. Innerhalb eines gewissen Zeitintervalls  [0 ; t₀]  gelte:  a( t ) = a₀·e^kt. Auf Benennungen wird bei der Rechnung verzichtet.

Bestimmen Sie a₀ und k.   (5 BE)
(Zur Kontrolle: a₀ = 1961; k = ln(1,2) )

Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt t₁, an dem die Keimzahl 5000 pro cm³ Milch beträgt.   (2 BE)

Durch zunehmendes Absterben der Keime verläuft die Keimzahl ab dem Zeitpunkt t₂ = 5,19 h nach der Funktion b mit b( t ) = 1000·t·e^{–0,001 t2}. Zeigen Sie, dass der Übergang der Funktionen a und b (im Rahmen der Rundungsgenauigkeit) stetig und differenzierbar erfolgt.   (7 BE)

Untersuchen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Keimzahl ihren größten Wert erreicht und berechnen Sie diese Keimzahl.   (4 BE)

Gegeben ist die Schar reeller Funktionen f: x f(x) = mit reellen, positiven Parameterwerten m und der Definitionsmenge ID IR .

Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge ID_m sowie jeweils in Abhängigkeit von m die Nullstellen, die Art der Definitionslücke und das Verhalten von  f_m(x)  bei Annäherung an die Definitionslücke.   (9 BE)

Ermitteln Sie die Gleichungen aller Asymptoten der Graphen von f_m.   (4 BE)

Untersuchen Sie, für welche Werte von m Extrempunkte des Graphen von f_m existieren.   (5 BE)

( Zur Kontrolle: f'(x) = )

Nun sei m = 4. Bestimmen Sie mit Hilfe der Ergebnisse aus Aufgabe 1.3 die Koordinaten und die Art der lokalen Extrempunkte des Graphen von f₄ , und zeichnen Sie die Asymptoten und den Graphen anhand geeigneter Funktionswerte für  –8 x 16  in ein kartesisches Koordinatensystem. (Maßstab auf beiden Achsen: 1LE = 0,5 cm; Platzbedarf beachten)   (9 BE)

Der Graph von f₄ und die x-Achse schließen ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl des zugehörigen Flächeninhalts.   (5 BE)

(Hinweis: Zerlegen Sie den Funktionsterm f₄(x) durch Polynomdivision)

In nebenstehendes Koordinatensystem sind der Graph der Exponentialfunktion  g: x  und die nach unten geöffnete Normalparabel mit Scheitelpunkt S(1|2) eingetragen.

Bestimmen Sie zunächst die rechte Schnittstelle beider Graphen unter Verwendung des Newton-Verfahrens näherungsweise (gerundet auf 3 Dezimalen), indem Sie mit dem Startwert x₀ = 3 beginnen und zwei Iterationsschritte ausführen.   (7 BE)
( Zur Kontrolle: Schnittstelle x₂ = 2,385 )

Berechnen Sie den Inhalt der schraffierten Fläche auf drei Dezimalen. (4 BE)

Bei der Behandlung einer akuten Virusinfektion durch ein Medikament wird das folgende mathematische Modell zugrunde gelegt: Für die Virenkonzentration n (in Laboreinheiten) x Stunden nach der Medikamenteneinnahme gilt

n(x) = 20(2x + 1)e^–0,5x  mit  x 0.

Ermitteln Sie, in welchen Zeitintervallen nach der Einnahme des Medikaments die Virenkonzentration zunimmt bzw. abnimmt. Berechnen Sie die größte auftretende Virenkonzentration.   (5 BE)

Untersuchen Sie, wie sich die Einnahme des Medikaments langfristig auf die Virenkonzentration auswirkt, wenn obige Gleichung gilt. Verwenden Sie dazu die Regeln von L´Hospital.   (3 BE)

Zeigen Sie, dass 18 Stunden nach Einnahme des Medikaments die Nachweisgrenze von n₀ = 0,1 Laboreinheiten unterschritten ist.   (2 BE)

Die Ableitungsfunktion n'(x) der Virenkonzentration hat für  x 0  einen größten und einen kleinsten Wert. Bestimmen Sie diese beiden Werte n'(x₀) und n'(x₁). Erläutern Sie die Bedeutung des positiven der beiden x-Werte für den Verlauf des Graphen der Funktion n.   (7 BE)