Abschlussprüfung zur Erlangung der fachgebundenen Hochschulreife
Frühjahr 2000

Aufgabengruppe B:   B I   B II

B I

1 Im IR3 sind die Punkte P( 1 | –5 | –2 ) und Q( 2 | –1 | –3 ) sowie die Geraden
h: mit k IR und a IR gegeben.
1.1

Durch P und Q ist eine Gerade g festgelegt. Untersuchen Sie, ob eine Gerade ha parallel zu g verläuft.   (4 BE)
 
1.2

Bestimmen Sie denjenigen Wert a, für den die zugehörige Gerade ha die Gerade g schneidet. Berechnen Sie auch die Koordinaten des Schnittpunktes S.   (7 BE)
( Teilergebnis: S( –9 | –45 | 8 ) )
 

1.3

Berechnen Sie das Teilverhältnis λ aus der Gleichung Erläutern Sie damit die Lage des Punktes S bezüglich der Punkte P und Q.   (4 BE)
 
1.4

Die Ebene E enthält die Geraden g und h-3 (also a = –3). Ermitteln Sie eine Gleichung von E in Koordinatenform.   (5 BE)
( Mögliches Ergebnis für E:  8x1 – x2 + 4x3 – 5 = 0 )
 
1.5

Geben Sie die Koordinaten je eines Punktes auf der x1x2-Koordinatenebene bzw. auf der x1x3-Koordinatenebene an, der gleichzeitig in E, aber nicht auf einer Koordinatenachse liegt.   (4 BE)
 
 
2

Drei Firmen A, B und C sind nach dem Leontief-Modell miteinander verflochten. Die gegenseitig und für den Markt erbrachten Leistungen werden in Verrechnungseinheiten in folgender Tabelle zusammengestellt:

 

A

B

C

Markt

A

0

60

8

332

B

100

0

54

146

C

80

48

0

72

Stellen Sie die Inputmatrix auf. Bestimmen Sie denjenigen Produktions-
vektor , der zum Nachfragevektor gehört.   (8 BE)
 
 
3

Im Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner oder gleich 2 sind die Elemente p1= x2 + x – 2 ,  p2= –x2 + 4x   und  p3= 3x + 5 gegeben.
 
3.1

Begründen Sie, dass {p1, p2, p3} eine Basis des Vektorraums bildet.   (4 BE)
 
3.2 

Berechnen Sie die Koordinaten des Elements p4= 9x2 – 8x – 5 bezüglich dieser Basis.   (4 BE)

 Lösungen zur Aufgabengruppe B I

 

B II

1

Im Vektorraum der (2,2)-Matrizen bezüglich der üblichen Verknüpfungen "+" und "•" ist die Matrix A = gegeben.
1.1 

Berechnen Sie die Matrizen A2 = A•A  und  A3 = A2•A.   (4 BE)
 
1.2 

Zeigen Sie, dass die zwei Matrizen A und A2 linear unabhängig sind, die drei Matrizen A, A2 und A3 jedoch linear abhängig sind. Stellen Sie die Matrix A3 als Linearkombination der Matrizen A und A2 dar.   (7 BE)
 

2

Im geometrischen Punktraum des IR sind die Ebene
E:  , sowie in Abhängigkeit von  sIR  die Ebenen
E:  4x + 3x – s = 0  und  E:  x + 2x + sx – 5 = 0  gegeben.

2.1

Zeigen Sie, dass die Gerade g mit der Gleichung   in E enthalten ist.   (5 BE)
 
2.2

Bestimmen Sie in Abhängigkeit von  sIR  die Koordinaten des Schnittpunktes von E mit der Geraden g.   (3 BE)
 
2.3

Ermitteln Sie eine Gleichung von E1 in Koordinatenform.   (4 BE)
( Mögliches Ergebnis für E1:  x1 – 2x2 + x3 – 3 = 0 )
 
2.4

Stellen Sie die erweiterte Koeffizientenmatrix für das Gleichungssystem zur Untersuchung der gemeinsamen Punkte der Ebenen E1, E2 und E3 auf. Untersuchen Sie durch eine Rangbetrachtung, für welche Werte von s das lineare Gleichungssystem genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen besitzt.   (7 BE)
 
2.5

Geben Sie die Lösungen des Gleichungssystems aus Aufgabe 2.4 für s = –1 sowie für s = 2 in vektorieller Form an.   (5 BE)
 
2.6

Setzen Sie nun s = –2. Begründen Sie, welche der drei skizzierten Lagen in diesem Fall die drei Ebenen zueinander einnehmen.   (5 BE)

 Lösungen zur Aufgabengruppe B II