2.

3.

4.

5.1

5.2

6.1

Symmetrie: f(–x) = 4[(–x)² + 1]·e^x = 4(x² + 1)·e^x ≠ ± f(x)
                    keine Symmetrie

Verhalten von f(x) für x ±∞:
x –∞     x² + 1 +∞    e^–x +∞     f(x) +∞
x +∞     x² + 1 +∞    e^–x 0     Fall für de L'Hospital:
                     

Nullstellen von f:
x² + 1 = 0: keine Lösung, also keine Nullstellen.

Extremwerte von f:
f '(x) = 4[2x·e^–x + (x² + 1)·e^–x·(–1)] = –4(x² – 2x + 1)·e^–x = 0
  x_1/2 = 1 ist doppelte Horizontalstelle, also Terrassenstelle von f
  TEP(1|). Daraus und aus dem Verhalten von f für x ±∞ folgt,
dass G_f in ganz IR echt monoton fällt.

Wendepunkte:
f ''(x) = –4[(2x – 2)·e^–x – (x² – 2x + 1)·e^–x] = 4(x² – 4x + 3)·e^–x = 0
  x = 1;   x = 3 sind einfache Flachstellen
  WEP(1|) = TEP;   WEP(3|)
Aus dem Zusammenhang ergibt sich, dass G_f für x < 1 linksgekrümmt, für 1 < x < 3 rechtsgekrümmt und für x > 3 wieder linksgekrümmt ist.

6.2

Graf von f:

6.3

   
F'(x) = 4 [(–2x – 2)·e^–x + (–x² – 2x – 3)·e^–x·(–1)]
         = 4 (x² + 1)·e^–x = f(x)  
F ist eine Stammfunktion von f.

Berechnung der Fläche A(c) zwischen G_f und der x-Achse in den Grenzen  x = 0  und  x = c > 0:
A(c) = + 12

Grenzwert des Terms für c ∞ nach de L'Hospital:

  Für  c ∞  gilt:  A(c) 12
  Die Fläche zwischen G und der x-Achse im 1. Quadranten beträgt
       12 FE.

7.1

Symmetrie: f(–x) = 4[(–x)² – 1]·e^x = 4(x² – 1)·e^x ≠ ± f(x)
                    keine Symmetrie

Verhalten von f(x) für x ±∞:
x –∞     x² – 1 +∞    e^–x +∞     f(x) +∞
x +∞     x² – 1 +∞    e^–x 0     Fall für de L'Hospital:
                     

Nullstellen von f:
x² – 1 = 0     x² = 1     x_1/2 = ±1

Extremwerte von f:
f '(x) = 4[2x·e^–x + (x² – 1)·e^–x·(–1)] = –4(x² – 2x – 1)·e^–x = 0
  sind einfache Horizontalstellen, also Extremstellen von f.
Art und Lage der Extrempunkte:
f ''(x) = –4[(2x – 2)·e^–x – (x² – 2x – 1)·e^–x] = 4(x² – 4x + 1)·e^–x
f ''() ≈ 17,12 > 0     TIP(|–5)
f ''() ≈ –1,01 < 0     HOP(|1,73)

Wendepunkte:
f ''(x) = 4(x² – 4x + 1)·e^–x = 0
  sind einfache Flachstellen
  WEP(|–2,84);   WEP(|1,24)
Aus dem Zusammenhang ergibt sich, dass G für x < linksgekrümmt, für < x < rechtsgekrümmt und für x > wieder linksgekrümmt ist.

7.2

Graf von f:

7.3

F(x) = (ax² + bx + c)e^–x  
F'(x) = (2ax + b)·e^–x + (ax² + bx + c)e^–x(–1)
         = [–ax² + (2a – b)x + (b – c)]e^–x = f(x) = (4x² – 4)e^–x  
Koeffizientenvergleich:   I.  –a = 4     a = –4
                                    II.  2a – b = 0     b = 2a = –8
                                   III.  b – c = –4     c¹ = b + 4 = –4

Berechnung der Fläche A(c) zwischen G_f und der x-Achse in den Grenzen  x = 1  und  x = c > 1:
A(c) = +

Grenzwert des Terms für c ∞ nach de L'Hospital:

  Für  c ∞  gilt:  A(c)
  Die Fläche zwischen G und der x-Achse im 1. Quadranten beträgt
        FE.

8.1

f(x) = e^2x – 2e^x = e^x(e^x – 2)

Symmetrie: f(–x) = e^–2x – 2e^–x ≠ ± f(x)
                    keine Symmetrie

Verhalten von f(x) für x ±∞:
x –∞     e^x 0  e^x – 2 –2     f(x) 0
x +∞     e^x +∞    e^x – 2 +∞     f(x) +∞

Nullstelle von f:
e^x – 2 = 0     e^x = 2     x = ln 2

Extremwerte von f:
f '(x) = e^2x·2 – 2e^x = 2e^x(e^x – 1) = 0
  e^x = 1     x = ln 1 = 0  ist einfache Horizontalstelle, also Extremstelle von f.
Art und Lage des Extrempunktes:
f ''(x) = 2e^2x·2 – 2e^x = 4e^2x – 2e^x
f ''(0) = 2 > 0     TIP(0|–1)

Wendepunkte:
f ''(x) =
  ist eine einfache Flachstelle, also Wendestelle
  WEP(|)

8.2

Graf von f:

8.3

F(x) = ∫ f(x)dx = ∫(e^2x – 2e^x)dx = e^2x – 2e^x + c,  c IR

G_f    Graf von F_c :
e^2x – 2e^x = e^2x – 2e^x + c     e^2x = c     e^2x = 2c
Diese Gleichung ist genau dann lösbar, wenn c > 0  
Für  c > 0  schneiden sich die Grafen von  f  und  F_c.

8.4

k –∞     0
  A(k) 2

9.1

Definitionsbereich:
e^2x – 1 = 0     e^2x = 1     2x = ln 1 = 0     x = 0
  ID_f = IR \ {0}

Asymptoten:
x –∞     e^2x – 1 -1     f(x) –2
  waagrechte Asymptote links:  y = –2
x ∞     e^2x – 1 ∞     f(x) 0
  waagrechte Asymptote rechts:  y = 0
x 0     f(x) ∞
  senkrechte Asymptote:  x = 0

9.2

f '(x) = :  keine Lösung
  G_f hat keine Horizontalpunkte.
(f '(x) < 0 für alle x ID_f     f fällt in seinem ganzen Definitionsbereich echt monoton.)

9.3

Graf von f:

9.4

G_f  ist punktsymmetrisch bezüglich Z(0|–1).
Beweis:
Die Behauptung gilt genau dann, wenn der um 1 nach oben verschobene Graf punktsymmetrisch bezüglich O ist.
Verschiebung von  G_f  um 1 nach oben ergibt den Grafen von g:

Anwendung des Kriteriums für Punktsymmetrie bzgl. O:

  G_g ist punktsymmetrisch bzgl. O, was zu zeigen war.

9.5

Bestimmung von x_P:

10.1

  G_f ist symmetrisch bzgl. der y-Achse.

10.2

Untersuchung auf Definitionslücken:
e^2x + 1 = 0     e^2x = –1     2x = ln(–1):  nicht definiert!
  keine Definitionslücken     Definitionsgrenzen: ± ∞
x –∞     e^x 0  e^2x + 1 1     f(x) 0
x +∞     e^x +∞    e^2x + 1 +∞     Fall für de L'Hospital:
                     

10.3

Monotonieverhalten:

f '(x) = 0    –e^2x + 1 = 0    e^2x = 1     2x = ln 1 = 0     x = 0
Monotonietabelle von f:

	x <	0	< x
Zähler der Ableitungsfkt.	+	0	–
Nenner der Ableitungsfkt.	+	+	+
Steigung	+	0	–
Graph	steigt	HOP(0|)	fällt

Andere Überlegungsmöglichkeit:
Wegen des Verhaltens für  x ± ∞   und wegen der Tatsache, dass für alle  x IR  f(x) > 0 gilt, muss bei  x = 0  ein Hochpunkt vorliegen, also HOP(0|).
  Für  x < 0  steigt und für  x > 0  fällt  f  echt monoton.

Krümmungsverhalten:

f ''(x) = 0     e^4x – 6e^2x + 1 = 0     (e^2x)² – 6e^2x + 1 = 0
Substitution:
  ≈ 0,1716    ≈ 5,8284
  2x = ln 0,1716 = –1,76    2x = ln 5,8284 = 1,76
  x = –0,88    x = 0,88
Krümmungstabelle von f:

	x <	–0,88	< x <	0,88	< x
Zähler von  f ''	+	0	–	0	+
Nenner von  f ''	+	+	+	+	+
f ''(x)	+	0	–	0	+
Steigung	steigt	Max.	fällt	Min.	steigt
Graph	Links- kurve	WEP (–0,88 | 0,35)	Rechts- kurve	WEP (0,88 | 0,35)	Links- kurve

Andere Überlegungsmöglichkeit:
Es handelt sich um zwei einfache Flachstellen von  f.
  WEP_1/2(±0,88 | 0,35)
Wegen des Verhaltens für  x ± ∞   und wegen der Tatsache, dass bei  x = 0  der einzige Extrempunkt, nämlich ein HOP vorliegt, folgt:
Für  x < –0,88  sowie für  x > 0,88  ist der Graf von  f  linksgekrümmt und für  –0,88 < x < 0,88  rechtsgekrümmt.

10.4

Graf von f:

10.5

Waagrechte Asymptote  y = 0     Zählergrad < Nennergrad;
G_g symmetrisch bzgl. der y-Achse     z(x) = 1;    n(x) = ax² + c
g(0) = f(0) =     c = 2
z. B. g(1) = f(1) = 0,324     = 0,324     a = 1,086 ,
also z. B.:    g(x) =
Graf von g:

Zum Vergleich:

11.1

Symmetrie: f(–x) = 3e^–x – e^–2x ≠ ± f(x)
                    keine Symmetrie

Verhalten von f(x) für x ±∞:
x –∞     e^x 0  3 – e^x 3     f(x) 0
x +∞     e^x +∞    3 – e^x –∞     f(x) –∞

Nullstelle von f:
3 – e^x = 0     e^x = 3     x = ln 3

Extremwerte von f:
f '(x) = 3e^x – e^2x·2 = e^x(3 – 2e^x) = 0
  e^x = 1,5     x = ln 1,5  ist einfache Horizontalstelle, also Extremstelle von f.
Art und Lage des Extrempunktes:
f ''(x) = 3e^x – 2e^2x·2 = 3e^x – 4e^2x
f ''(ln 1,5) = 3e^{ln 1,5} – 4e^{2 ln 1,5} = 4,5 – 9 = –4,5 < 0  
  HOP(ln 1,5 | 2,25)

Wendepunkte:
f ''(x) = 3e^x – 4e^2x = e^x(3 – 4e^x) = 0
  e^x =     x = ln   ist eine einfache Flachstelle, also Wendestelle von  f
  WEP(ln | )

11.2

Graf von f:

11.3

11.4

12.1

Nullstelle von f:
0,5x – 1 = 0     x = 2

Verhalten von f(x) für x ±∞:
x –∞     0,5x – 1 –∞     e^0,5x 0     Fall für de L'Hospital:
                     
x +∞     0,5x – 1 +∞     e^0,5x +∞     f(x) +∞
Aus dem Verhalten von  f  für  x –∞  folgt die waagrechte Asymptote  y = 0.

Extremwerte:
f '(x) = 0,5·e^0,5x + (0,5x – 1)·e^0,5x·0,5 = 0,25x·e^0,5x = 0     x = 0
f ''(x) = 0,25·e^0,5x + 0,25x·e^0,5x·0,5 = (0,125x + 0,25)·e^0,5x
f ''(0) = 0,25·e⁰ = 0,25 > 0     TIP(0 | –1)

12.2

Graf von f:

12.3

F(x) = (ax + b)e^0,5x  
F'(x) = ae^0,5x + (ax + b)e^0,5x·0,5 = (0,5ax + a + 0,5b)e^0,5x;
f(x) = (0,5x – 1)e^0,5x;    F'(x) = f(x)     Koeffizientenvergleich:
 I.  0,5a = 0,5     a = 1
II.  a + 0,5b = –1     1 + 0,5b = –1     b = –4

12.4

Sei c < 0  

c –∞     (c – 4)e^0,5c 0, denn wegen  c – 4 –∞ und e^0,5c 0  gilt nach de L'Hospital:

Also gilt für  c –∞:  –4  
Das beschriebene Flächenstück hat einen endlichen Inhalt, nämlich  4 FE.

12.5

A(a) = g·h = a·[–f(a)] = (–0,25a² + 0,5a)·e^0,5a,    ID_A = ]0 ; 2[.
A'(a) = (–0,5a + 0,5)·e^0,5a + (–0,25a² + 0,5a)·e^0,5a·0,5
         = (–0,125a² – 0,25a + 0,5)e^0,5a
         = –0,125(a² + 2a – 4)e^0,5a
A'(a) = 0  

A''(a) = –0,125(2a + 2)e^0,5a – 0,125(a² + 2a – 4)e^0,5a·0,5
          = –0,0625(a² + 6a + 4)e^0,5a  
A''(a₁) = –1,5 < 0  
Für    wird die Dreiecksfläche maximal.

13.1

Nullstellen von f:
1. Fall:  x < 2     f(x) = (0,5x – 1)e^0,5x
            0,5x – 1 = 0     x = 2: erfüllt nicht die Fallbedingung
              Für  x < 2  existieren keine Nullstellen.
2. Fall:  x ≥ 2     f(x) = –0,25x² + 2x – 3
            x – 8x + 12 = 0    

Extremwerte von f:
1. Fall:  x < 2     f(x) = (0,5x – 1)e^0,5x
              TIP(0 | –1):   Begründung siehe Lösung zu Aufgabe 12.1
2. Fall:  x > 2     f(x) = –0,25x² + 2x – 3
              f '(x) = –0,5x + 2 = 0     x = 4
                   f ''(x) = –0,5 < 0     HOP(4 | 1)
3. Fall:  x = 2
            x 2     f '(x) = 0,5e > 0;
            x 2     f '(x) = –0,5x + 2 1 > 0
            Da beide Steigungsgrenzwerte > 0, gibt es bei  x = 2  kein
            Randwertextremum.

13.2

Stetigkeit bei  x = 2:
x 2     0;
f(2) = –0,25·2² + 2·2 – 3 = 0  
Da bei  x = 2  der linksseitige Grenzwert der Funktion  f  mit ihrem dortigen Wert übereinstimmt, ist  f  dort stetig.

Differenzierbarkeit bei  x = 2:
x 2     f '(x) = 0,5e;
x 2     f '(x) = –0,5x + 2 1  
Da bei  x = 2  der linksseitige Grenzwert der Ableitung von  f  nicht mit ihrem rechtsseitigen Grenzwert übereinstimmt, ist  f  dort nicht differenzierbar.

13.3

13.4

Nach 13.3 gilt:  I = = 4 – 2e ≈ –1,44;  I = = ≈ 2,67
  Da I < 0, aber I + I > 0, muss ein  c [2 ; 6]  existieren, so dass
        = 0  gilt.

14.1

     I.  ae^1930b = 2·10⁹
    II.  ae^2000b = 6·10⁹

II : I      e^70b  = 3     70b = ln 3 ≈ 1,0986     b = 0,015694
b in I:   ae^30,29 = 2·10⁹     1,4286·10¹³a = 2·10⁹     a = 1,4·10^–4

14.2

0,00014e^{0,015694 · 1950} = 2,735·10⁹

14.3

0,00014e^{0,015694 t} = 10¹⁰     e^{0,015694 t} = 7,143·10¹³
  0,015694 t = ln(7,143·10¹³) = 31,9     t = 2032,6
Nach diesem Modell wird im Jahre 2032 die 10-Milliardengrenze überschritten.

14.4

0,00014e^{0,015694 t} = 2     e^{0,015694 t} = 14286
  0,015694 t = ln 14286 = 9,567     t = 609,6
Das Urelternpaar Adam und Eva hätte demnach am Anfang des 7. Jahrhunderts  n. Chr. gelebt.

14.5

Der Verdoppelungszeitraum sei d.  

0,00014e^{0,015694 · (t + d)} = 2 · 0,00014e^{0,015694 · t}

0,015694d = ln 2 = 0,69315     d = 44,167

Demzufolge verdoppelt sich die Weltbevölkerung in 44 Jahren und 2 Monaten.

14.6

Das zu Grunde gelegte mathematische Wachstumsmodell hat mehrere gravierende Schwächen:

Erstens geht es von einer völlig gleichbleibenden „Wachstumsrate“ aus, schaltet also soziale Komponenten wie z.B. Geburtenkontrolle oder wirtschaftliche Komponenten (z.B. Babyboom in Zeiten der Prosperität) völlig aus.

Zweitens geht es von einer gleichbleibenden Lebenserwartung aus. Tatsächlich aber hat sich die Lebenserwartung in wenigen Jahrhunderten dank des hygienischen und medizinischen Fortschritts praktisch verdreifacht.

Drittens vernachlässigt es bevölkerungsrelevante Katastrofen wie Kriege oder verheerende Epidemien.

Daraus resultiert, dass die Menschheit in früheren Epochen sehr viel langsamer zunahm als in der Gegenwart, dass also der Parameter  b  in früheren Epochen viel kleiner war.

15.1

Aus dem Diagramm wird abgelesen:
f(0) = 25     ae^k·0 = a = 25
f(15) = 5     25·e^k·15 = 5
                    e^15k = 0,2     15k = ln 0,2     k ≈ –0,107
Probe:
f(8) = 25e^–0,107·8 = 10,62  in ungefährer Übereinstimmung mit dem Diagrammwert.

15.2

Sei t₀ irgendein Zeitpunkt und T der „Halbierungszeitraum“. Dann ist zum Zeitpunkt  t₀ + T  nur noch die Hälfte derjenigen DDT-Belastung nachweisbar, die zum Zeitpunkt  t₀  gemessen wurde. Mathematisch ausgedrückt:

f(t₀ + T) = 0,5·f(t₀)     2·f(t₀ + T) = f(t₀)

  e^–0,107·T = 0,5
  –0,107·T = ln 0,5 = –0,693
  T = 6,48
Nach jeweils etwa 6,5 Jahren hat sich die DDT-Belastung halbiert.

16.1

Nach dem linken Grafen ist nach etwa 18 Tagen die gesamte Population durchseucht. Auch nach 40 Tagen hält die Epidemie unvermindert an.
Auch nach dem mittleren Grafen hat die Epidemie nach etwa 18 Tagen ihre maximale Ausbreitung erreicht und hält diesen Stand auch noch nach 40 Tagen. Sie betrifft aber nur etwas mehr als ein Drittel der Population.
Auch nach dem rechten Grafen betrifft die maximale Durchseuchung etwas mehr als ein Drittel der Population, ist aber schon nach 15 Tagen erreicht. Im Gegensatz zu den anderen Verläufen klingt sie aber bis zum 30. Tag wieder völlig ab.

16.2

Für große  t  gilt:  e^–0,5·t ≈ 0, d. h. n(t) ≈ 1500. Also kann nur der linke Graf zu n(t) gehören.

16.3

n(t)=  
n'(t) =
  n'(0) = = 14,42

Die Stelle der maximalen Ausbreitungsgeschwindigkeit ist gleich der Wendestelle von  G_n mit maximaler Steigung von n. Also muss die Nullstelle von  n''  bestimmt werden, an der  n'  ein Maximun annimmt.

Da  n''  bei  x = 7,82  sein Vorzeichen von + nach – wechselt, liegt dort ein Maximum von  n' , also ein Maximun der Ausbreitungsgeschwindigkeit vor

16.4

Nach  8,6 Tagen sind  60 %  der Population infiziert.