f(x) = 2x ln x
ID = IR⁺, da  ln x  nur für  x > 0  definiert ist.
Nullstellen von f:   2x ln x = 0     x = 0     ln x = 0
                                x = 0 ID , also keine Nullstelle von f ;
                                ln x = 0     x = 1 ID , also Nullstelle von f.

f(x) = (x + 1) ln(–x)
ID = IR^–, da  ln (–x)  nur für  x < 0  definiert ist.
Nullstellen von f:   (x + 1) ln(–x) = 0     x + 1 = 0     ln(–x) = 0
                                Beide Bedingungen ergeben  x = –1 ID
                                  x = –1  ist doppelte Nullstelle von f.

f(x) = x ln(0,5x + 2)
Bestimmung von ID :
ln(0,5x + 2) ist genau dann definiert, wenn  0,5x + 2 > 0, also  x > –4
  ID = ]-4; +∞[.
Nullstellen von f:   x ln(0,5x + 2) = 0     x = 0     ln(0,5x + 2) = 0
                                x = 0 ID , ist also Nullstelle von f ;
                                ln(0,5x + 2) = 0     0,5x + 2 = 1     x = –2 ID
                                  x = –2  ist die zweite Nullstelle von f.

f(x) = (x² – 1) ln(x² – 4)
Bestimmung von ID :
ln(x² – 4) ist genau dann definiert, wenn  x² – 4 > 0.
Die Parabel  y = x² – 4  hat die Nullstellen  –2  und  2  und ist nach oben geöffnet
  ID = ]-∞; -2[ ]2; +∞[.
Nullstellen von f:   (x² – 1) ln(x² – 4) = 0     x² – 1 = 0     ln(x² – 4) = 0
                                x² – 1 = 0     x = ± 1 ID , also keine Nullstellen von f ;
                                ln(x – 4) = 0     x – 4 = 1     x = ID
                                  x =   sind die beiden Nullstellen von f.

f(x) = (x² – 4) ln(x² – 1)
Bestimmung von ID :
ln(x² – 1) ist genau dann definiert, wenn  x² – 1 > 0.
Die Parabel  y = x² – 1  hat die Nullstellen  –1  und  1  und ist nach oben geöffnet
  ID = ]-∞; –1[ ]1; +∞[.
Nullstellen von f:   (x² – 4) ln(x² – 1) = 0     x² – 4 = 0     ln(x² – 1) = 0
                                x² – 4 = 0     x = ± 2 ID , also Nullstellen von f ;
                                ln(x – 1) = 0     x – 1 = 1     x = ID,
                                also ebenfalls Nullstellen von f.

f(x) = x² ln(x² + 1)
Bestimmung von ID :
ln(x² + 1) ist genau dann definiert, wenn  x² + 1 > 0.
Da diese Bedingung immer erfüllt ist, gilt  ID = IR.
Nullstellen von f:   x² ln(x² + 1) = 0     x² = 0     ln(x² + 1) = 0
                                x² = 0     x = 0 ID , also doppelte Nullstelle von f ;
                                ln(x² + 1) = 0     x² + 1 = 1     x² = 0  
                                x = 0  ist wieder doppelte Nullstelle,
                                also insgesamt eine vierfache Nullstelle von f.

      g)   

f(x) =
Bestimmung von ID :
ln x  ist genau dann definiert, wenn  x > 0.
Da dann der Nenner auch nicht null wird, gilt  ID = IR⁺.
Nullstelle von f:    = 0     ln x – 1 = 0     ln x = 1
                                  x = e ID , also Nullstelle von f.

      h)   

f(x) =
Bestimmung von ID :
ln x  ist genau dann definiert, wenn  x > 0.
x² – x = x(x – 1) = 0     Der Nenner wird null, falls  x = 0  oder  x = 1
  ID = IR⁺ \ {1}.
Nullstellen von f:   = 0     (ln x) – 1 = 0     (ln x) = 1     ln x = ± 1
                                  x = e     x = .
                                Beide Werte liegen in ID , sind also Nullstellen von f.

      i)   

f(x) =
Bestimmung von ID :
ln x²  ist genau dann definiert, wenn  x² > 0, also wenn  x ≠ 0.
Der Nenner wird null, falls  x = ± 1
  ID = IR \ {–1; 0; 1}.
Nullstellen von f:   = 0     ln x – 1 = 0     ln x = 1
                                  x = e     x = .
                                Beide Werte liegen in ID , sind also Nullstellen von f.

f(x) = 2x ln x;   ID = IR⁺.

f '(x) = 0     2 ln x + 2 = 0     ln x = –1     x = .
Da die Funktion  y = ln x  in IR⁺ monoton steigt, steigt auch  f '  monoton und wechselt daher an ihrer Nullstelle das Vorzeichen von  –  nach  +. Das bedeutet, dass der Graf von  f  für 0 < x < fällt und für x > steigt, so dass bei x = ein Tiefpunkt mit der Ordinate y = – vorliegt.

f(x) = (x + 1) ln(–x);   ID = IR^–.

f(x) = x ln(0,5x + 2);   ID = ]-4; +∞[.

f(x) = (x² – 1) ln(x² – 4);   ID = ]-∞; –2[ ]2; +∞[.

f(x) = (x² – 4) ln(x² – 1);   ID = ]-∞; –1[ ]1; +∞[.

f(x) = x² ln(x² + 1);   ID = IR.

      g)   

f(x) = ;   ID = IR.

f '(x) = 0     2 – ln x = 0     ln x = 2     x = e².
Monotonieverhalten von f:

	0 < x <	e2	< x
Zähler der Ableitungsfkt.	+	0	-
Nenner der Ableitungsfkt.	+	+	+
Steigung	+	0	-
Graph	steigt	HOP	fällt

      h)   

f(x) = ;   ID = IR \ {1}.

      i)   

f(x) = ;   ID = IR \ {–1; 0; 1}.

ln 0,5 + ln 2 = ln (0,5 · 2) = ln 1 = 0

ln 8 – ln 4 = ln (8:4) = ln 2

ln 25 + ln 5 = ln 5² + ln 5 = 2 ln 5 + ln 5 = 3 ln 5

ln (10e²) = ln 10 + 2 ln e = 2 + ln 10

=

= 1 + ln (e + 1) – ln e = 1 + ln (e + 1) – 1 = ln (e + 1)

=

f: x ln (4 – 2x)
(4 – 2x) > 0     4 – 2x ≠ 0     x ≠ 2
  ID = IR \ {2}.

f: x ln (2 – x)(1 + x)
(2 – x)(1 + x) > 0
    –1 < x < 2     ID = ]-1; 2[.

f: x ln
> 0     (x – 3)(x – 1) > 0
    x < 1     x > 3     ID = ]-∞ 1[ ]3; +∞[.

In  ID = IR \ {2}  gilt:   f(x) = ln (4 – 2x) = 2 ln |4 – 2x| = 2 ln 2|2 – x|
                                              = 2 ( ln |x – 2| + ln 2 ) = 2 ln |x – 2| + 2 ln 2.

In  ID = ]-1; 2[  gilt:   f(x) = ln (2 – x)(1 + x) = ln |2 – x| + ln |1 + x|
                                              = ln (2 – x) + ln (x + 1).

In  ID = ]-∞; 1[ ]3; +∞[  gilt:   f(x) = ln = ln |x – 3| – ln |x – 1|.
Das Weglassen der Betragsstriche würde hier dazu führen, dass der erste logarithmische Term nur für  x > 3  und der zweite nur für  x > 1  definiert wäre, so dass die ungeformte Funktion dann nur die Definitionsmenge  ]3; +∞[  hätte.

f(x) = 2x ln x;   ID = IR⁺.
0 < x 0     f(x) 0, da nach de L'Hospital gilt:

x ∞     f(x) ∞, da beide Faktoren  2x  und  ln x  nach  ∞  streben.
Der Graf von  f  besitzt demnach keine Asymptoten.

f(x) = (x + 1) ln(–x);   ID = IR^–.
0 > x 0     f(x) -∞, da  x + 1 1  und  ln(–x) -∞.
x -∞     f(x) -∞, da  x + 1 -∞  und  ln(–x) ∞.
Der Graf von  f  besitzt demnach die Asymptote  x = 0.

f(x) = x ln(0,5x + 2);   ID = ]-4; +∞[.
–4 < x –4     f(x) +∞, da der erste Faktor negativ ist und
ln(0,5x + 2)  nach  -∞  strebt.
x +∞     f(x) +∞, da beide Faktoren  x  und  ln(0,5x + 2)  nach  +∞  streben.
Der Graf von  f  besitzt demnach die Asymptote  x = –4.

f(x) = (x² – 1) ln(x² – 4);   ID = ]-∞; –2[ ]2; +∞[.
2 < x 2     f(x) -∞, da  x² – 1 3  und  ln(x² – 4) -∞.
x +∞     f(x) +∞, da beide Faktoren nach  +∞  streben.
Wegen der Achsensymmetrie des Grafen von  f  zur y-Achse gilt:
–2 > x –2     f(x) -∞ ;
x -∞     f(x) +∞ .
Der Graf von  f  besitzt demnach die Asymptoten  x = –2  und  x = 2.

f(x) = (x² – 4) ln(x² – 1);   ID = ]-∞; –1[ ]1; +∞[.
1 < x 1     f(x) +∞, da  x² – 4 –3  und  ln(x² – 1) -∞.
x +∞     f(x) +∞, da beide Faktoren nach  +∞  streben.
Wegen der Achsensymmetrie des Grafen von  f  zur y-Achse gilt:
–1 > x –1     f(x) +∞ ;
x -∞     f(x) +∞ .
Der Graf von  f  besitzt demnach die Asymptoten  x = –1  und  x = 1.

f(x) = x² ln(x² + 1);   ID = IR.
x ±∞     f(x) +∞, da beide Faktoren nach  +∞  streben.
Der Graf von  f  besitzt demnach keine Asymptoten.

      g)   

f(x) = ;   ID = IR.
0 < x 0     f(x) -∞, da der Zähler nach  -∞  und der Nenner aus dem Positiven gegen  0  streben.
x +∞     f(x) 0, da nach de L'Hospital gilt:

Der Graf von  f  besitzt demnach die Asymptoten  x = 0  und  y = 0.

      h)   

f(x) = ;   ID = IR \ {1}.
0 < x 0     f(x) -∞, da wegen  ln x -∞  der Zähler nach  +∞  strebt, während der Nenner x(x – 1) wegen  x +0  und  x – 1 –1  aus dem Negativen gegen  0  strebt.
x 1     f(x) ± ∞, da wegen  ln x 0  der Zähler nach  –1  strebt, während der Nenner bei  x = 1  sein Vorzeichen von  –  nach  +  wechselt.
x +∞     f(x) 0, da nach de L'Hospital gilt:

Der Graf von  f  besitzt demnach die Asymptoten  x = 0,  x = 1  und  y = 0.

      i)   

f(x) = ;   ID = IR \ {–1; 0; 1}.
x ±∞     f(x) 0, da nach de L'Hospital gilt:

x –1     f(x) ∞, da wegen  ln x 0  der Zähler nach  –1  strebt, während der Nenner bei  x = –1  sein Vorzeichen von  +  nach  –  wechselt.
x 0     f(x) +∞, da der Zähler nach  -∞  und der Nenner nach  –1  streben.
x 1     f(x) ± ∞, da wegen  ln x 0  der Zähler nach  –1  strebt, während der Nenner bei  x = 1  sein Vorzeichen von  –  nach  +  wechselt.
Der Graf von  f  besitzt demnach die Asymptoten  x = –1,  x = 0,  x = 1  und  y = 0.

f(x) =
ID = IR \ {–1,5}
f(x) = 0     3x² – 3x – 6 = 0     x₁ = –1 ;   x₂ = 2
Da die Definitionslücke nicht im Intervall [-1; 2] liegt, ergibt sich der gesuchte Flächeninhalt A  durch Integration von  f  in den Grenzen  –1  und  2:

f(x) =
ID = IR \ {0}
f(x) = 0     x² + 3x + 2 = 0     x₁ = –2 ;   x₂ = –1
Da die Definitionslücke nicht im Intervall [-2; -1] liegt, ergibt sich der gesuchte Flächeninhalt A  durch Integration von  f  in den Grenzen  –2  und  –1:

f(x) = x (ln x – 1)
Maximale Definitionsmenge:   ID = IR⁺.
Verhalten für  x 0:   f(x) 0 · (-∞): nicht bestimmbar, also de L'Hospital:
           
Verhalten für  x +∞:   f(x) +∞, da beide Faktoren nach +∞ gehen.
Nullstellen:   f(x) = 0     x = 0 ID, also keine Nullstelle;
                                             ln x – 1 = 0     ln x = 1     x = e.
Monotonie:   f '(x) =
                      f '(x) = 0     ln x = 0     x = 1
Da f '(x) = ln x bei x = 1 das Vorzeichen von – nach + wechselt, fällt der Graf von f für 0 < x < 1 und steigt für x > 1. Bei x = 1 liegt also ein Tiefpunkt mit der Ordinate y = –1 vor.
Krümmungsverhalten:  f ''(x) = > 0 für x > 0     Der Graf von f ist im gesamten Definitionsbereich links gekrümmt.

Graf von f:

Die beiden grünen Flächenstücke, die zwischen x = 0 und x = 2 die Fläche zwischen dem Grafen von f und der x-Achse zu einem Rechteck mit dem Inhalt 2 FE ergänzen, sind zusammen nur geringfügig größer als die (abgeschnittene) graue Fläche. Das bedeutet, dass die Maßzahl der Fläche zwischen dem Grafen von f und der x-Achse sich nur wenig von 2 unterscheidet.

x·(ln x – 1) = x
x·(ln x – 1) – x = 0
x·(ln x – 1 – 1) = 0
x = 0 ID, also keine Schnittstelle;
ln x – 2 = 0     ln x = 2     x = e²
Der Schnittpunkt lautet also:   S(e²|e²).

Die Maßzahl der Fläche beträgt 1.

f(x) =
Maximale Definitionsmenge:   x² > 0     x ≠ 0, also:  ID = IR \ {0}.
Symmetrieverhalten:  f(–x) = = –f(x)  
Der Graf von f ist punktsymmetrisch bzgl. des Ursprungs.
Verhalten für  x +0:   f(x)
Verhalten für  x -0:   f(x)
Verhalten für  x ± ∞ :   f(x) : nicht bestimmbar, also de L'Hospital:
           
Aus dem Verhalten an den Definitionsrändern folgt, dass der Graf von f die folgenden Asymptoten besitzt:
Waagrechte Asymptote:  y = 0;   senkrechte Asymptote:  x = 0.
Nullstellen:   f(x) = 0     ln x² = 0     x² = 1     x = ± 1.
Extrempunkte:   f '(x) =
                            f '(x) = 0     12 – 6 ln x² = 0     ln x² = 2
                                                x² = e²     x = ± e
                           
                           
Wendepunkte:  f ''(x) = 0     12 ln x² – 36 = 0     ln x² = 3
                                            einfache Nullstellen von  f ''
                                              Wendestellen von  f, also:  

Graf von f und gesuchte Gerade von 9.3:

Die gesuchte Gerade aus der Schar  y = mx  berührt z. B. den rechten Ast des Grafen von f im Berührpunkt B(b|f(b)). Dann lässt sich die Steigung im Punkt B einmal als Ableitungswert von f an der Stelle b und zum andern als Kathetenverhältnis aus dem Steigungsdreieck der Tangente gewinnen:

Die Funktion  g  lautet dann:  

f(x) =

Maximale Definitionsmenge:   x > 0     x ≠ 0    x > 0, also:  ID = IR⁺.

Verhalten für  x +0:   f(x) (+∞) · (+∞) = +∞
Verhalten für  x +∞ :   f(x) 0 · (+∞) : nicht bestimmbar, also de L'Hospital:

Aus dem Verhalten an den Definitionsrändern folgt, dass der Graf von f die folgenden Asymptoten besitzt:
Waagrechte Asymptote:  y = 0;   senkrechte Asymptote:  x = 0.

Monotonie:  
                       f '(x) = 0     –(ln x)² + 2 ln x = 0     –(ln x)·(ln x – 2) = 0
                                          ln x = 0     ln x = 2     x = 1     x = e²

	0 < x <	1	< x <	e2	< x
	+	+	+	+	+
–ln x	+	0	-	-	-
ln x – 2	-	-	-	0	+
f '(x)	-	0	+	0	-
G	fällt	TIP(1 | 0)	steigt	HOP	fällt

Krümmung:  

	0 < x <	1,465	< x <	13,71	< x
	+	+	+	+	+
(ln x)2 –3 ln x + 1	+	0	-	0	+
f ''(x)	+	0	-	0	+
f '(x)	steigt	Steig.max.	fällt	Steig.min.	steigt
G	links- gekrümmt	WEP (1,465 | 0,4)	rechts- gekrümmt	WEP (13,71 | 2)	links- gekrümmt

Graf von f und zu berechnende Fläche von 10.7:

Die gesuchte Schnittstelle entspricht der linken Nullstelle der Funktion .
Nach der Grafik von Aufgabe 10.4 muss diese Nullstelle etwa den Wert 0,5 haben.
Gewählt wird also ein Startwert links von 0,5, nämlich da, wo der Graf von d steiler verläuft, also z. B. z₁ = 0,4.
Formel für das Newtonsche Näherungsverfahren:      

  Die gesuchte Schnittstelle lautet etwa  x = 0,57.

f(x) =
Maximale Definitionsmenge:   x² – 1 > 0     x < –1     x > 1, also:
ID = IR \ [-1; 1] = ]-∞; -1[ ]1; +∞[.
Symmetrieverhalten:  f(–x) = f(x)  
Der Graf von f ist achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse.
Verhalten für  1 < x 1:  +∞     f(x) +∞
Wegen der Achsensymmetrie gilt dann auch für  –1 > x –1:   f(x) +∞
Verhalten für  x ± ∞ :  +0     f(x) -∞
Aus dem Verhalten an den Definitionsrändern folgt:
Der Graf von f besitzt die senkrechten Asymptoten   x = ±1.
Nullstellen:   f(x) = 0     = 1     x – 1 = 1     x = 2     x = ± .
Monotonie:   f '(x) =
                      f '(x) = 0     x = 0 ID, also gibt es keine Horizontalstellen.
Da f '(x) für x < –1 positiv und für x > 1 negativ ist, folgt, dass f(x) für x < –1 monoton steigt und für x > 1 monoton fällt.
Krümmung:   f ''(x) =
Da die zweite Ableitung immer größer als Null ist, ist der Graf von f im ganzen Definitionsbereich von  f  linksgekrümmt.

Graf von f und gesuchte Parabel von 11.3:

Die gesuchte quadratische Funktion g(x) = ax + b muss bei x = sowohl den selben Funktionswert als auch die selbe Steigung besitzen wie die Funktion f. Es ergeben sich also zwei Gleichungen mit den Unbekannten a und b:
g() = f() = 0                 a() + b = 0       2a + b = 0
g '() = f '() = –2     2a = –2           a = –1
a in die erste Gleichung eingesetzt ergibt dann   b = 2.

f(x) =
Maximale Definitionsmenge:   x > 0    ln x ≠ 0     x > 0    x ≠ 1, also:
ID = IR⁺ \ {1}.
Verhalten für  0 < x 0:  x ln x 0 · (–∞) : nicht bestimmbar, also de L'Hospital:

Verhalten für  1 > x 1:  ln x –0     f(x) –∞
Verhalten für  1 < x 1:  ln x +0     f(x) +∞
Verhalten für  x +∞ :  x ln x (+∞) · (+∞)     f(x) +0.
Aus dem Verhalten an den Definitionsrändern folgt, dass der Graf von f die folgenden Asymptoten besitzt:
Waagrechte Asymptote:  y = 0;   senkrechte Asymptoten:  x = 0;   x = 1.
Nullstellen:   keine, da konstanter Zähler.
Monotonie:
f '(x) =
f '(x) = 0     ln x + 1 = 0     ln x = –1     x = .

	0 < x <		< x <	1	< x
–(ln x + 1)	+	0	-	-	-
x2(ln x)2	+	+	+	0	+
f '(x)	+	0	-	#	-
G	steigt	HOP( | –e)	fällt	#	fällt

Krümmung:


Da der z-Term eine nach oben geöffnete Parabel ohne Nullstellen darstellt, ist er und damit der Zähler von f '' immer größer als Null.
Der Nenner wechselt wegen (ln x)³ bei x=1 das Vorzeichen von – nach +. Da das folglich auch für den ganzen Term der zweiten Ableitung f '' gilt, ist der Graf von f für x < 1 rechts- und für x > 1 linksgekrümmt.

Graf von f :

Ergänzt man den Grafen von f um sein Spiegelbild, das sich bei einer Punktspiegelung am Koordinatenursprung ergibt, so erhält man den Grafen von g.

Erforderliche Schritte:

1. Aufstellung der Gleichung der Tangente an G in P(a | f(a)).
2. Bestimmung der Tangenten-Nullstelle als Dreiecksgrundseite.
3. Bestimmung des y-Achsenabschnitts der Tangente als Dreieckshöhe.
4. Aufstellung der Formel für die Dreiecksfläche.
5. Berechnung der zur Flächenmaßzahl 2,25 passenden Parameter a.
6. Einsetzen der a-Werte in die Tangentengleichung von 1.

I.   4 = K + c ln 2     4 = K + 0,693 c
II.  6 = K + c ln 5     6 = K + 1,609 c
II. – I.                           2 =         0,916 c         c = 2,183         K = 2,487

Es geht hier nicht um ein Maximum mit horizontaler Tangente, sondern darum, wann die echt monoton steigende Funktion E(R) den „kritischen“ Wert 10 erreicht:
E(R) = 10 = 2,487 + 2,183 ln(R)     2,183 ln(R) = 7,513     ln(R) = 3,442  
R = e^3,442 = 31,25.

E(R) – E(0,5 R) = K + c ln(R) – ( K + c ln(0,5 R) )
                           = c ( ln(R) – ln(0,5 R) )
                           = c ln = 2,183 ln 2 = 1,51
E(10 R) – E(R) = K + c ln(10 R) – ( K + c ln(R) )
                           = c ( ln(10 R) – ln(R) )
                           = c ln = 2,183 ln 10 = 5,03
Eine Verzehnfachung des Reizes vergrößert also die Empfindung um ca. 5 Einheiten.