Übungsblatt  Rationale Funktionen

Lösungen zu Aufgabe 1
 
a)      f(x) =  =    
         Die Nullstellen sind  x = 1  und  x = –1;
         die Definitionslücken sind  x = 2  und  x = –2.

         f(x) =  =    
         Die Nullstellen sind  x = 0  und  x = 1;
         x = –1  ist eine doppelte Definitionslücke.

         f(x) =  =  =    
         Die Nullstellen sind  x = 1  und  x = –2;
         x = 2  ist eine (einfache) Definitionslücke.

         f(x) =  =    
         Nullstellen sind keine vorhanden;
         die Definitionslücken sind  x = 1, x = 2  und  x = –2.


b)      Verhalten von  f an ihren Definitionslücken:
         Da der Term von  f nicht kürzbar ist,
         sind beide Definitionslücken Polstellen:
         x  2      f(x) =   +∞ .
         Für   x  2  gilt dann wegen der Einfachheit
         der Polstelle x = 2:   f(x)  –∞ .

         x  –2      f(x) =   –∞ .
         Für   x  –2  gilt dann wegen der Einfachheit
         der Polstelle x = –2:   f(x)  +∞ .


         Verhalten von  f an ihrer Definitionslücke:
         Da der Term von  f nicht kürzbar ist,
         ist die Definitionslücke  x = –1 eine Polstelle:
         x  –1      f(x) =   +∞ .
         (x = –1 ist doppelte Polstelle   
          gleiches Verhalten von  f auf beiden Seiten der Polstelle)


         Verhalten von  f an ihrer Definitionslücke:
         Der Term von  f ist zwar kürzbar, behält aber
         den Linearfaktor  x – 2  im Nenner. 
         Also ist die Definitionslücke  x = 2 eine Polstelle:
         x  2      f(x) =   +∞ .
         Für   x  2  gilt dann wegen der Einfachheit
         der Definitionslücke x = 2:   f(x)  –∞ .


         Verhalten von  f an ihren Definitionslücken:
         f(x) =       (x) = 
         Da   bei  x = 2  im Gegensatz zu  f definiert ist und dort
         den Wert 0 hat, ist  x = 2  eine hebbare Lücke von  f:
         x  2      f(x)  (2) = 0.

         Die anderen Definitionslücken von  f sind Polstellen:
         x  1      (x) =   –∞      f(x)  –∞ .
         Für   x  1  gilt dann wegen der Einfachheit
         der Polstelle x = 1:   f(x)  +∞ .

         x  –2      (x) =   +∞      f(x)  +∞ .
         Für   x  –2  gilt dann wegen der Einfachheit
         der Polstelle x = –2:   f(x)  –∞ .