Übungsblatt  Rationale Funktionen

Lösungen zu Aufgabe 10
 
a)     1)    fk und  gk haben denselben Grad.
        2)  Ansatz für fk:  fk(x) = ax³ + bx² + cx + d
               fk'(x) = 3ax² + 2bx + c;   fk''(x) = 6ax + 2b
             fk''(0) = 0    2b = 0    b = 0
             fk'(0) = –3k²    c = –3k²
             fk(0) = y–Achsenabschnitt der Wendetangente = 2k³
               d = 2k³ 
               fk(x) = ax³ – 3k²x + 2k³
        3)  Ansatz für gk:  gk(x) = Ax³ + Cx    gk'(x) = 3Ax² + C
             gk'(k) = –k³    3Ak² + C = –k³    C = –3Ak² – k³
               gk(x) = Ax³ – (3Ak² + k³)x
        4)    x = –2k  ist Nullstelle von  fk und von  gk
               fk(–2k) = –8k³a + 6k³ + 2k³ = 0    a = 1;
                   g(–2k) = –8kA + 6kA + 2k = 0    A = k
        Demnach enthalten die Gleichungen von  fk und  gk nur
        den Parameter  k  und lauten: 
        fk(x) = x³ – 3k²x + 2k³ ;
        gk(x) = kx³ – 4k³x
          h(x) = 


b)     kx³ – 4k³x = 0    kx(x² – 4k²) = 0    x1 = 0;  x2/3 = ±2k
          IDmax = IR \ {0; ±2k}
        Verhalten von hk bei den Definitionslücken: 
        1.  x = –2k ist eine hebbare Lücke ( siehe a)! ).
             Ermittlung des gekürzten Funktionsterms von hk: 
             
               (x) =  mit  ID = IR \ {0; 2k}
             (–2k) =  = 
             Also gilt für  x  –2k:   h(x)  

        2.  x = 2k  ist eine (einfache) Polstelle.
             x  2k    h(x) =   ∞ 

        3.  x = 0  ist eine (einfache) Polstelle.
             Für die Untersuchung des Verhalten von  hk an dieser 
             Polstelle ist eine Fallunterscheidung nötig: 
             1. Fall:  k > 0
                 x  0      h(x) =   ±∞ 
             2. Fall:  k < 0
                 x  0      h(x) =   ±∞ 


c)     Nullstellen:  x2 – 2kx + k2 = 0    (x – k)2 = 0    x1/2 = k
        Asymptoten:
        Es gibt zwei senkrechte Asymptoten mit den Gleichungen
        x = 0  und  x = 2k. 
        Durch Division der "Öffnungsfaktoren" des Zähler- und
        Nennerpolynoms erhält man die Gleichung der waagrechten
        Asymptote:
        y = 


d)     h'(x) = 
                 = 
                 =  =  = 0    x = k

        Monotonieverhalten von hk:
        1. Fall:  k > 0

	x < ≠ –2k	0	< x <	k	< x <	2k	< x
Zähler von hk'	+	+	+	0	–	–	–
Nenner von hk'	+	0	+	+	+	0	+
Steigung	+	#	+	0	–	#	–
Graph	steigt	#	steigt	HOP(k | 0)	fällt	#	fällt

2. Fall:  k < 0

	x <	2k	< x <	k	< x <	0	< x ≠ –2k
Zähler von hk'	–	–	–	0	+	+	+
Nenner von hk'	+	0	+	+	+	0	+
Steigung	–	#	–	0	+	#	+
Graph	fällt	#	fällt	TIP(k | 0)	steigt	#	steigt

e)     Graph von h1:
        


f)      Der Graph von hk hat keine Wendepunkte.
        Krümmungsverhalten von hk:
        1. Fall:  k > 0

	x < ≠ –2k	0	< x <	2k	< x
Krümmung	links	#	rechts	#	links

2. Fall:  k < 0

	x <	2k	< x <	0	< x ≠ –2k
Krümmung	rechts	#	links	#	rechts