Übungsblatt  Rationale Funktionen

Lösungen zu Aufgabe 2
 
a)     f(x) =    
        Gleichungen der senkrechten Asymptoten:  x = 0  und  x = –2.
        Wegen Zählergrad < Nennergrad lautet die
        Gleichung der waagrechten Asymptote  y = 0.

        f(x) = 
        Wegen der negativen Nennerdiskriminante D = 2 – 4·2 = –4  hat  f
        keine Definitionslücken, also auch keine senkrechten Asymptoten.
        Wegen Zählergrad < Nennergrad lautet die
        Gleichung der waagrechten Asymptote  y = 0.

        f(x) =  =    
        Gleichung der senkrechten Asymptote:  x = –1.
        Wegen Zählergrad = Nennergrad existiert eine waagrechte Asymptote:
        (1x² + ...) : (1x² + ...) = 1 + ...   
        Gleichung der waagrechten Asymptote  y = 1.

        f(x) =  =  =    
        Gleichung der senkrechten Asymptote:  x = 2.
        Wegen Zählergrad = Nennergrad + 1  existiert eine schiefe Asymptote:
        (x² + x – 2) : (x – 2)  =  x + 3 + 
         x² –2x
              3x – 2
              3x – 6
                     4
           Gleichung der schiefen Asymptote  y = x + 3.

        f(x) =       (x) = 
        Gleichungen der senkrechten Asymptoten:  x = 1  und  x = –2.
        Wegen Zählergrad < Nennergrad lautet die
        Gleichung der waagrechten Asymptote  y = 0.



b)     Der Graph von f verläuft genau dann oberhalb seiner Asymptote  y = 0,
        wenn  f(x) > 0      x² + 2x > 0
        Nullstellen der Parabel:  –2  und 0 
             x < –2  v  x > 0
        Also verläuft der Graph von f genau dann unterhalb seiner Asymptote
        y = 0,  wenn  –2 < x < 0.


        Der Graph von f verläuft genau dann oberhalb seiner Asymptote  y = 0,
        wenn  f(x) > 0      x > 0, da die Nennerparabel sowieso > 0 ist.
        (Wegen D < 0 verläuft die Nennerparabel überall oberhalb der x-Achse!)
        Also verläuft der Graph von f genau dann unterhalb seiner Asymptote 
        y = 0,  wenn  x < 0.


        Zerlegung des Terms von  f durch Polynomdivision: 
        (x²  – x + 0) : (x² + 2x + 1)  =  1 –  
         x² +2x + 1
             –3x – 1
        Also verläuft der Graph von f genau dann oberhalb seiner Asymptote
        y = 1,  wenn   < 0  | · (x²+2x+1): in ID immer > 0 !
                            3x + 1 < 0      x < –
        Also verläuft der Graph von f genau dann unterhalb seiner Asymptote 
        y = 1,  wenn  x > –.


        Nach a) gilt:  f(x) =  x + 3 + 
        Also verläuft der Graph von f genau dann oberhalb seiner Asymptote
        y = x + 3,  wenn    > 0      x – 2 > 0      x > 2
        Also verläuft der Graph von f genau dann unterhalb seiner Asymptote 
        y = x + 3,  wenn  x < 2


        Der Graph von f verläuft genau dann oberhalb / unterhalb seiner
        Asymptote  y = 0, wenn  f(x) > / < 0, also    > / < 0
        Nullstelle der Zählergeraden:  2
        Nullstellen der Nennerparabel:  –2  und 1   

	x <	–2	< x <	1	< x <	2	< x
Zähler	–	–	–	–	–	0	+
Nenner	+	0	–	0	+	+	+
Funktion f	< 0	#	> 0	#	< 0	= 0	> 0
Graph / Asymptote	unterhalb	#	oberhalb	#	unterhalb	auf	oberhalb

c)     f'(x)  =    =  
        f'(x) = 0      –2x – 2 = 0      x = –1

        Monotonieverhalten von f:

	x <	–2	< x <	–1	< x <	0	< x
Zähler der Abl.fkt.	+	+	+	0	–	–	–
Nenner der Abl.fkt.	+	0	+	+	+	0	+
Steigung	+	#	+	0	–	#	–
Graph	steigt	#	steigt	HOP(–1|–1)	fällt	#	fällt

        f'(x)  =    =  
        f'(x) = 0      –x + 2 = 0      x = ±

        Monotonieverhalten von f:

	x <	–	< x <		< x
Zähler der Ableitungsfkt.	–	0	+	0	–
Nenner der Ableitungsfkt.	+	+	+	+	+
Steigung	–	0	+	0	–
Graph	fällt	TIP (–|)	steigt	HOP (|)	fällt

        f'(x) =  = 
                =  = 
        f'(x) = 0      3x – 1 = 0      x = 

        Monotonieverhalten von f:

	x <	–1	< x <		< x
Zähler der Ableitungsfkt.	–	–	–	0	+
Nenner der Ableitungsfkt.	–	0	+	+	+
Steigung	+	#	–	0	+
Graph	steigt	#	fällt	TIP( | –)	steigt

        Zum Ableiten der Funktion f nimmt man ihre gekürzte Fassung: 
        f'(x) =  =  = 
        f'(x) = 0      x – 4x = 0      x(x – 4) = 0      x = 0;   x = 4

        Monotonieverhalten von f:

	x <	0	< x <	2	< x <	4	< x
Zähler der Abl.fkt.	+	0	–	–	–	0	+
Nenner der Abl.fkt.	+	+	+	0	+	+	+
Steigung	+	0	–	#	–	0	+
Graph	steigt	HOP(0 | 1)	fällt	#	fällt	TIP(4 | 9)	steigt

        Zum Ableiten der Funktion f nimmt man ihre gekürzte Fassung,
        darf aber die hebbare Lücke nicht aus den Augen verlieren: 
        f'(x) =  =  = 
        f'(x) = 0      –x + 4x = 0      –x(x – 4) = 0      x = 0;   x = 4

        Monotonieverhalten von f:

	x <	–2	< x <	0	< x <	1	< x < x ≠ 2	4	< x
Zähler	–	–	–	0	+	+	+	0	–
Nenner	+	0	+	+	+	0	+	+	+
Steigung	–	#	–	0	+	#	+	0	–
Graph	fällt	#	fällt	TIP(0 | 1)	steigt	#	steigt	HOP(4 | )	fällt

d)     Graph von  f:
        

        Graph von  f:
        

        Graph von  f:
        

        Graph von  f:
        

        Graph von  f: