Übungsblatt  Rationale Funktionen

Lösungen zu Aufgabe 3
 
a)      Symmetrieverhalten:
         f(–x) =  =  = f(x)   
         G ist achsensymmetrisch bzgl. der y–Achse.

         Nullstellen:
         f(x) = 0      x – 5x + 4 = 0;   Setze x = z   
         z – 5z + 4 = 0;     D = 5² – 4·1·4 = 9   
         z =       z = 4;   z = 1.   Setze z = x   
         x = 4    x = 1      x = ±2;  x = ±1

         Verhalten an der Definitionslücke:
         x  0    f(x) =   +∞


b)      Kürzen von f(x):  f(x) = x – 5 +    
         Gleichung der asymptotischen Kurve:  a(x) = x – 5;
         x  ±∞      f(x)  +∞,  da  a(x)  +∞


c)      f '(x) = 
                 = 
                 = 
                 =  = 0   
         2x – 8 = 0      x = 4      x = 2      x = ±

        Monotonieverhalten von f:

	x <	–	< x <	0	< x <		< x
Zähler der Ableitungsfkt.	+	0	–	–	–	0	+
Nenner der Ableitungsfkt.	–	–	–	0	+	+	+
Steigung	–	0	+	#	–	0	+
Graph	fällt	TIP (–|–1)	steigt	#	fällt	TIP (|–1)	steigt

         f ''(x) =  = 
                  =  = 
         f ''(x) = 0:  keine Lösung, da der Zähler von  f '' nicht  0  werden kann.
         Also hat Gf keine Wendepunkte. 


d)      Graph von f:

         


e)       = (x² – 5 + )dx = x³ – 5x – 
         = ·8 – 10 – 2 – (·1 – 5 – 4) =