Übungsblatt  Rationale Funktionen

Lösungen zu Aufgabe 4
 
a)      Symmetrieverhalten:
         f(–x) =  =  = f(x)   
         G ist achsensymmetrisch bzgl. der y–Achse.

         Verhalten an der Definitionslücke:
         x  0    f(x) =   –∞

         Nachweis der Nullstellenfreiheit:
         f(x) = 0      –x – 1 = 0      x = –1
         Da x ≥ 0 für alle x  IR, hat die Gleichung keine Lösung.

         Verlauf des Graphen:
         f(x) =  < 0 für alle x  IR\{0},
         d. h.  Gf verläuft nur im 3. und 4. Quadranten.


b)      Kürzen von f(x):  f(x) = –x –    
         Gleichung der asymptotischen Kurve:  a(x) = –x ;
         x  ±∞      f(x)  –∞,  da  a(x)  –∞


c)      f '(x) =  = 
                 =  =  = 0   
         –2x + 2 = 0      x = 1      x = ±1

        Monotonieverhalten von f:

	x <	–1	< x <	0	< x <	1	< x
Zähler der Ableitungsfkt.	–	0	+	+	+	0	–
Nenner der Ableitungsfkt.	–	–	–	0	+	+	+
Steigung	+	0	–	#	+	0	–
Graph	steigt	HOP (–1|–2)	fällt	#	steigt	HOP (1|–2)	fällt

         f ''(x) =  = 
                  =  = 
         f ''(x) = 0:  keine Lösung, da der Zähler von  f '' nicht  0  werden kann.
         Also hat Gf keine Wendepunkte. 


d)      Graph von f:

         


e)      Menge aller Stammfunktionen von f :
         F(x)  =  dx  =  (–x – )dx  =  –x +  + c,  c  IR.
         F(1) = – + 1 + c = 2      c = 


f)       Bestimmung der Abszissen der Schnittpunkte von Gf
         und der Geraden  g: y = –2,5  im 4. Quadranten:
          = –2,5     –x – 1  =  –2,5x     x – 2,5x + 1  =  0
         Setze x = z:    z – 2,5z + 1  =  0;    D = 2,5 – 4·1 = 2,25
           z = , also z = 2,  z = 
         Setze z = x und beachte x > 0    x = ,  x = 

         Integralansatz für die Fläche zwischen Gf und der Geraden  g:
         A = ( + 2,5) dx  =  (–x –  + 2,5) dx
            =  –x +  + 2,5x
            =    =  


g)      Sei  c > 1.  Zunächst berechnet man die Fläche  A(c)  zwischen Gf,
         der Parabel  y = –x sowie der Geraden  x = 1  und  x = c,  und lässt
         dann  c  gegen  ∞  gehen:
         A(c)  =  (–x – ) dx  =  (–x + x + ) dx
                 =  –  =  – + 1    1  für  c  ∞      A = 1 FE.