Übungsblatt  Rationale Funktionen

Lösungen zu Aufgabe 5
 
a)      Symmetrieverhalten:
         f(–x) =  =  = –f(x)   
         G ist punktsymmetrisch bzgl. des Koordinatenursprungs.

         Verhalten für  x  ±∞:
         f(x)  0, da Zählergrad von f  <  Nennergrad von f.

         Verlauf des Graphen:
         x  IR    f(x) =  > 0
           Gf verläuft für  x > 0  nur im 1. Quadranten.
         Wegen der Punktsymmetrie bzgl. O verläuft Gf für  x < 0
         nur im 3. Quadranten.

         Grobskizze:

         

         Anzahl der Wendepunkte: 3 ( Pfeile in der Grobskizze)


b)      f '(x) =  = 
                 =  =  = 0   
         –96x + 96 = 0      x = 1      x = ±1

        Monotonieverhalten von f:

	x <	–1	< x <	1	< x
Zähler der Ableitungsfkt.	–	0	+	0	–
Nenner der Ableitungsfkt.	+	+	+	+	+
Steigung	–	0	+	0	–
Graph	fällt	TIP (–1|–2)	steigt	HOP (1|2)	fällt

         f ''(x) = 
                  = 
                  =  = 0    x = 0,  x = ±
         Da es sich um drei einfache Nullstellen von  f '' handelt,
         sind sie Wendestellen von Gf. 
         Koordinaten der Wendepunkte:
         WEP(0|0),  WEP(|),  WEP(–|–)


c)      Ansatz für die Wendetangente bei  x = 0:   y = m·x;
         m = f '(0) =  = 
         Die Gleichung der Wendetangente bei  x = 0  lautet also   y = x

         Ansatz für die Wendetangente bei  x =:   y = m·x + t;
         m = f '() =  = 
         m und WEP in den Tangentenansatz einsetzen:
          = · + t      t = 
         Die Gleichung der Wendetangente bei  x =  lautet also:
         y = x + 

         Wegen der Punktsymmetrie von Gf bzgl. O lautet dann die
         Gleichung der Wendetangente bei  x = –:
         y = –((–x) + ) = x – 


d)      Graph von f:

         


e)      F '(x)  =   =  = f(x)   
         F ist eine Stammfunktion von f.


f)       Wegen der Punktsymmetrie von Gf ist die gesuchte Fläche gleich der
         doppelten Fläche zwischen Gf und der x–Achse im 1. Quadranten.
         Um diese zu berechnen, wird sie zunächst bei  x = c,  c > 0
         abgeschnitten, und dann der Grenzprozess  c  ∞ betrachtet:
         A(c)  =   dx  =  
                 =  – (–)      für  c  ∞   
         Gesuchte Fläche A = 2· =  FE.