Übungsblatt  Rationale Funktionen

Lösungen zu Aufgabe 6


 

a)      Nullstellen: 
         f(x) = 0      2x – x = 0      x(2 – x) = 0      x = 0;  x = 2
         Da  x  und  x  in der Definitionsmenge von f enthalten sind,
         sind sie Nullstellen von f.

         Asymptoten des Graphen:
         Gleichung der senkrechten Asymptote:  x = 1
         Wegen der Gleichheit des Zähler- und des Nennergrads gibt es
         auch eine waagrechte Asymptote:
          = (–x + 2x) : (x – 2x + 1) = –1 + echt-gebrochen-rat. Fkt.
            Gleichung der waagrechten Asymptote:  y = –1


b)      f '(x) = 
                 = 
                 =  =  ≠ 0  für alle  x  IR.

        Monotonieverhalten von f:
 x <1< x
Zähler der Ableitungsfkt.–––
Nenner der Ableitungsfkt.–0+
Steigung+#–
Graphsteigt#fällt


c)      Graph von f:

         


d)      F '(x)  =   =  =  = f(x)   
         F ist eine Stammfunktion von f.


e)      F '(x) = 0    f(x) = 0     x = 0;  x = 2
         f wechselt bei  x = 0  das Vorzeichen von  – nach +
            GF hat den TIP(0|0).
         f wechselt bei  x = 2  das Vorzeichen von  + nach –
            GF hat den HOP(2|–4).

         Gleichung der senkrechten Asymptote von GF:  x = 1
         Da der Zählergrad von F um 1 größer ist als der Nennergrad,
         gibt es auch eine schiefe Asymptote. Ihre Gleichung wird durch
         Polynomdivision ermittelt:
         (–x² + 0x + 0) : (x – 1) = –x – 1 – 
          –x² +   x
                   –x + 0
                   –x + 1
                         –1 
            Gleichung der schiefen Asymptote von GF:  y = –x – 1


f)       A  =  (f(x) – (–1))dx  =   + x
             =   =  FE.