Übungsblatt  Rationale Funktionen

Lösungen zu Aufgabe 7


 

a)      f(x) = x – 3x – 2

         x  ±∞    f(x)  ±∞

         Nullstellen:
             x = –1;  Polynomdivision:
            
            

         Horizontalpunkte:
             f '(x) = 3x – 3 = 0    x = 1    x = ±1
             Wegen des Verhaltens von f für  x  ±∞  liegt bei
             x = –1  ein HOP und bei  x = 1  ein TIP vor:
             HOP(–1|0);  TIP(1|–4)

         Wendepunkt: Mitte zwischen HOP und TIP, also WEP(0|–2)


         g(x) = (x – 3x – 2) =    
         Waagrechte Asymptote mit der Gleichung  y = 1.
         Polstelle  x = 0  mit Vorzeichenwechsel von g   
         Senkrechte Asymptote mit der Gleichung  x = 0.

         Nullstellen: die selben wie von  f,  also  x = –1;   x = 2

         Monotonieverhalten:
             g'(x) = 
                     = 
                     =  = 
             g'(x) = 0    6x + 6 = 0    x = –1
 x <–1< x <0< x
Zähler der Ableitungsfkt.–0+++
Nenner der Ableitungsfkt.+++0+
Steigung–0+#+
GraphfälltTIP
(–1|0)		steigt#steigt

         Wendepunkte:
             g''(x) =  = 
                      =  =  = 0      –18x – 24 = 0
               x =  einfache Nullstelle von g''    Wendestelle von g,
             also  WEP(|).

         Graphen von f, g und h:
         


b)      f(–1) = g(–1) = 0        h ist bei  x = –1  stetig.
         f '(–1) = g'(–1) = 0      Gh ist bei  x = –1  knickfrei.
            h ist bei  x = –1  differenzierbar.


c)      Siehe rote Kurve in der Grafik in a)


d)      In der Grafik in a) ist die zu berechnende Fläche A(k)
         grau gekennzeichnet. 
         A(k) =  (1 – h(x))dx  =  (1 – f(x))dx + (1 – g(x))dx
                 = (3 – x + 3x)dx + ()dx
                 =  
                 =  
                 =  FE.

         k  ∞    A(k)  9,75 FE.