Übungsblatt  Rationale Funktionen

Lösungen zu Aufgabe 8
 
a)      Winkelhalbierende des 1. und 3. Quadranten:  y = x     
         z. B. f(x) = x +  = , denn:
         f(–x) = –x –  = –f(x),
         d. h. Gf ist punktsymmetrisch bzgl. O.
         Graph:
         


b)      Wegen der Achsensymmetrie zur y–Achse dürfen keine
         ungeraden x–Potenzen vorkommen.
         Ansatz: f(x) = 1 +  hat die waagrechte Asymptote  y = 1
                    und ihr Graph ist achsensymmetrisch zur y–Achse.
         Damit ihr Graph den HOP(0|–1) hat, muss gelten: 
         I.   f(0) = –1    1 +  = –1    b = –0,5
         II.  f '(0) = 0   f '(x) =  =  = 0
                                 x = 0.  Bedingung II. ist also erfüllt.
         III. f ''(0) < 0
               f ''(x) = 
                        = 
                        =  =   
               f '' (0) = –8a < 0, wenn a > 0, also z. B. wenn a = 1.
         Damit lautet die Funktion f z. B.:  f(x) = 1 +  = 
         Graph:
         


c)      Gf hat genau dann keine senkrechte Asymptote, wenn f keine
         Definitionslücke besitzt. Die Nennerfunktion n(x) darf also keine
         Nullstellen haben, also z. B. n(x) = x + 1.
         Die zur Parabel gehörige Funktion heiße p(x). 
         Damit die Graphen von f und p sich bei  x = 2  berühren, muss
         gelten:
         I.   f(2) = p(2) = 0,  d. h.  x = 2  muss eine Nullstelle der Zähler-
                                      funktion z(x) sein.
              Demnach ergibt sich für  f  der Ansatz:  f(x) = 
         II.  f '(2) = p'(2) = –4
              f '(x) =  = 
                      =  = 
                f '(2) =  = a = –4    a = –20
         Damit lautet die Funktion f z. B.:  f(x) = 
         Graphen von f und p:
         


d)      1. Versuch:  f(x) = x + 1 + 
                           Der Graph hat die geforderten Asymptoten.
                           Damit die schiefe Asymptote bei  x = 1  geschnitten
                           wird, muss gelten:
                           1 + 1 + a = 1 + 1, also  a = 0, was nicht möglich ist. 
         2. Versuch:  f(x) = x + 1 + 
                           Der Graph hat die geforderten Asymptoten.
                           Damit die schiefe Asymptote bei  x = 1  geschnitten
                           wird, muss gelten:
                           1 + 1 + a = 1 + 1, also  a = 0, was nicht möglich ist. 
         3. Versuch:  f(x) = x + 1 + 
                           Der Graph hat die geforderten Asymptoten.
                           Damit die schiefe Asymptote bei  x = 1  geschnitten
                           wird, muss gelten:
                           1 + 1 + a + b = 1 + 1    b = –a,
                           also z. B.  a = 1,  b = –1 
         Damit ist eine mögliche Funktion f gefunden: 
         f(x) = x + 1 +  = 
         Graph:
         


e)      Damit der Graph im Punkt  (2|0)  unterbrochen ist, muss der
         Linearfaktor  (x – 2)  aus  f  herauskürzbar sein.
         Zunächst wird der gekürzte Funktionsterm   betrachtet:
         Dieser muss die Nullstelle  x = 2  und die doppelte Polstelle
         x = –1 besitzen:
         (x) = 
         Der Faktor a ist noch nötig, um das Verhalten von    bei  x = –1
         zu berücksichtigen:
         x  –1    (x)  –3a·∞    (x)  +∞, wenn a < 0,
         also z. B. a = –1.
         Um jetzt noch die Nullstelle  x = 2  zu einer hebbaren Lücke zu
         machen, wird    um den Faktor  (x – 2)  erweitert.
         Damit lautet die Funktion f z. B.:  f(x) = 
         Graph:
         


f)       TIP(1|2)  Gf  
         I.   f(1) = 2;
         II.  f ' (1) = 0;
         III. f ''(1) > 0 
         Also sind mindestens 2 Parameter nötig.
         Ansatz  f(x) = x – 1 +  = x – 1 +  + 
         Der Graph einer solchen Funktion hat die geforderte
         asymptotische Kurve. 
         Zu Bedingung I.:
         1 – 1 + a + b = 2    b = 2 – a 
         Zu Bedingung II.:
         f '(x) = 2x –  –     2 – a – 2b = 0
            b = 0;  a = 2 
         Probe mit III.:
         f ''(x) = 2 +     f ''(1) = 6 > 0,  d. h. III. ist auch erfüllt.
         Damit lautet die Funktion f z. B.:  f(x) = x – 1 +  = 
         Graph: