Übungsblatt  Rationale Funktionen

Lösungen zu Aufgabe 9


 

a)     f(–x) =  = –  = –f(x)  
        Gf ist punktsymmetrisch bzgl. des Koordinatenursprungs.


b)     Definitionslücken:  x – 4 = 0    x = ±2
        Dreifache Nullstelle:  x = 0

        Verhalten von f an den Definitionslücken:
 x <–2< x <0< x <2< x
Zähler von f–––0+++
Nenner von f+0–––0+
f(x)– –∞ / +∞ +0– –∞ / +∞ +

c)     Nach b) gibt es zwei senkrechte Asymptoten mit den Gleichungen
        x = –2  und  x = 2. 
        Außerdem gibt es eine schiefe Asymptote, da der Zählergrad von  f
        um 1 größer ist als der Nennergrad.
        Ihre Gleichung wird durch Polynomdivision ermittelt:
        
          Gleichung der schiefen Asymptote:  y = x


d)     f '(x) =  =  =  = 0
          x–12x = 0    x(x–12) = 0    x = 0;   x = ± = ±2
        Der Nenner von  f '  ist in IDf immer positiv. Also hängt das
        Vorzeichen von  f '  nur von seinem Zähler ab. 
        x = 0 ist doppelte Nullstelle von  f '    TEP(0|0)
        Bei  x = 2 wechselt das Zählervorzeichen von  –  nach  +  
        TIP(2 | 3)
        Punktsymmetrie von G bzgl. O    HOP(–2 | –3)


e)     
        In der Grafik ist die durch das Integral    beschriebene
        Fläche grau hervorgehoben. Diese Fläche lässt sich grob in halbe
        Planquadrate mit dem Flächeninhalt  0,5 FE. zerlegen.
        Da sich etwas mehr als 6 halbe Planquadrate ergeben, resultiert
        für das Integral ein Wert von ca. 3.


f)      f(x) = ;    f(x) =  = m·f(x)
        Für m > 0 gilt das Vorstehende mit der Abwandlung, dass die
        schiefe Asymptote jetzt die Gleichung  y = m·x hat und auch die
        Ordinaten der Extrempunkte noch mit m multipliziert werden. 
        Für  m > 1  sind alle Ordninaten im Vergleich zu denen der
        Funktion  f  gestreckt, für  0 < m < 1  gestaucht. 
        Für m < 0 ist der Graph im Vergleich zu m > 0 an der x–Achse
        gespiegelt, d. h., das Verhalten an den Definitionslücken dreht sich
        um, und die Extrempunkte tauschen ihre Art.