Arbeitsblatt Lineare Gleichungssysteme:
Lösungen


  
1.  Lösung durch grafische Darstellung:
 
a)   y =   –x + 2     b)   y = 0.5x + 1    
    y = –2x + 4         y =    –x + 2    

 
     
 
S ( 2 | 0 )     Lösung: x = 2;   y = 0
  

   
 
 
c)   y = 0,5x + 1     d)   y = 0.5x + 1    
    y = 0,5x – 1         y = 0.5x + 1    

 
     
 
kein Schnittpunkt     keine Lösung
  
S(x | y) mit y = 0,5x + 1 und x IR     Lösungen: x IR;   y = 0,5x + 1
    



2.  Lösung mit dem Additionsverfahren und Probe:
 
  (1)    
5x + 5(1 + y) = 3x + 10y
     Beide Gleichungen in die Standardform bringen
(2)   4(x + 3) – 2y = x – 6y + 39    
           
(1)   2x – 5y = – 5      
(2)   3x + 4y = 27    
           
(1)   2x – 5y = – 5   · 3 Beide Gleichungen mit geeigneten Zahlen multiplizieren, so dass die Faktoren vor x den gleichen Betrag, aber verschiedene Vorzeichen haben.
(2)   3x + 4y = 27   ·(–2)
           
(1)     6x – 15y = – 15     Die beiden Gleichung addieren.
Es entsteht eine Gleichung, in der x nicht mehr auftritt.
(2)   – 6x – 8y = – 54    
(3)          –23y = – 69      
           
(3)   – 23y = – 69   :(–23) Diese Gleichung nach y auflösen.
    y = 3      
           
(1)   2x – 15 = – 5   + 15 Wert für y in die erste Gleichung einsetzen und diese nach x auflösen.
    2x = 10   : 2
    x = 5    
          Probe durchführen
(1)   25 + 5·(1 + 3) = 15 + 30     Zwei wahre Aussagen!
(2)   4· (5 + 3) –6 = 5 – 18 + 39    



3.  Lösung mit dem Additionsverfahren und Probe:
 
  (1)    
a + b = c + 7
     Als ersten Schritt bringen wir die Gleichungen in die Standardform.
(2)   2a – b = 8 – c    
(3)   3a + 2b = c + 20    
           
(1)     a  + b  – c = 7   ·3 Nun multiplizieren wir die 1. und die 3. Gleichung mit den geeigneten Zahlen, so dass die Faktoren vor "a" den gleichen Betrag aber entgegengesetzte Vorzeichen haben.
(2)   2a  – b  + c = 8    
(3)   3a + 2b – c = 20   ·(–1)
           
(1)   3a + 3b – 3c = 21     Jetzt addieren wir die 1. und 3. Gleichung. Eo entsteht eine neue Gleichung (4), in der a nicht mehr auftritt.
(3)   –3a – 2b + c = – 20    
(4)          b – 2c =   1      
           
(1)     a + b – c = 7   ·2 Nun multiplizieren wir die 1. und 2. Gleichung mit den geeigneten Zahlen, so dass die Faktoren vor "a" den gleichen Betrag, aber entgegengesetzte Vorzeichen haben.
(2)   2a – b + c = 8   ·(–1)
           
(1)     2a + 2b – 2c = 14     Jetzt addieren wir die 1. und 2. Gleichung. Es entsteht eine neue Gleichung (5), in der "a" nicht mehr auftritt.
(2)   –2a  + b  – c = –8    
(5)           3b – 3c =  6    
           
(4)   b – 2c = 1      
(5)   3b – 3c = 6   :(–3)  
           
(4)    b – 2c = 1      
(5)   –b  + c = –2     Jetzt addieren wir die 4. und 5. Gleichung. Es entsteht eine neue Gleichung (6), in der "a" und "b" nicht mehr auftreten.
(6)          –c = –1      
           
(6)   –c = –1   · (–1)  
    c = 1      
          Falls mehr als drei Variable vorhanden sind:Mit diesem Verfahren fortfahren , bis in der letzten Gleichung nur noch eine Variable steht. Nach dieser Variable auflösen.
(4)   b – 2·1 = 1      
    oder     Nun setzen wir den Wert für die letzte Variable "c = 1" in die 4. oder 5. Gleichung, die zwei Variablen beinhalten, ein und lösen nach "b" auf.
(5)   –b + 1 = –2      
           
    b = 3      
           
(1)   a + 3 – 1 = 7     Als letzten Schritt setzen wir das Ergebnis von Gleichung (6) "c = 1" und das Ergebnis von Gleichung (4) oder (5) "b = 3" in die 1. Gleichung ein und lösen nach "a" auf.
    a = 5    
           
    a = 5      
    b = 3      
    c = 1      
           
           
           
4.  Prüfung des Lösungsverhaltens mit dem Additionsverfahren:
 
Das LGS hat keine Lösung: Das LGS hat unendlich viele Lösungen: Das LGS hat genau eine Lösung:
  (1)     2x – 3y + 2z = 1       (1)     2x – 3y + 2z = 1       (1)     2x + 3y + 4z = 20    
(2)   –4x + 6y – 4z = –2     (2)   –4x + 6y – 4z = –2     (2)   –2x – 2y + 3z = 3    
(3)   x – 1,5y + z = 1   ·( –2) (3)   x – 1,5y + z = 0,5   ·( –2) (3)   –x – 3y + 4z = 5    
                             
(1)   2x – 3y + 2z = 1     (1)   2x – 3y + 2z = 1     (1)   2x + 3y + 4z = 20    
(2)   –4x + 6y – 4z = –2     (2)   –4x + 6y – 4z = –2     (3)   –x – 3y + 4z =  5    
(3)   –2x + 3y – 2z = –2     (3)   –2x + 3y – 2z =–1     (4)   x         + 8z = 25    
                             
(1)   2x – 3y + 2z = 1     (1)   2x – 3y + 2z = 1     (2)   –2x – 2y + 3z = 3   ·3
(3)   –2x + 3y – 2z = –2     (3)   –2x + 3y – 2z = –1     (3)   –x – 3y + 4z = 5   ·(–2)
(4)   0 + 0 + 0 = –1
(falsche Aussage)		     (4)   0 + 0 + 0 = 0
(wahre Aussage)		              
                             
    Die falsche Aussage 0 = –1 zeigt die Unlösbarkeit         Das LGS ist also für alle Zahlentripel erfüllt, die die beiden ersten Gleichungen erfüllen.     (2)   –6x – 6y + 9z  =   9    
(3)   2x + 6y – 8z = –10  
(5) –4x           + z = –1 : 4
                             
          (1)   2x – 3y + 2z = 1     (5)   –x + 0,25z = –0,25    
          (2)   –4x + 6y – 4z = –2   : 2 (4)   x +      8z =  25    
                    (6)         8,,25z = 24,75    
          (1)   2x – 3y + 2z = 1              
          (2)   –2x + 3y – 2z = –1         z = 3    
          (5)   0 + 0 + 0 = 0
(wahre Aussage)		         y = 2    
                        x = 1    
              Die Lösungen sind die Tripel  (x | y | z)  mit  x, y IR  und z = 0,5 – x + 1,5y              



5.  Lösung mit dem Einsetzungsverfahren und Probe:
 
  (1)     3x – 4y = 22        Gegeben sind zwei Gleichungen; eine von ihnen muss erst in die richtige Form, und zwar y = f(x) oder x = f(y) gebracht werden.
(2)   9x + 3y = 6    
           
(1)   3x – 4y = 22     In diesem Fall lösen wir die 2.Gleichung nach y auf und bringen sie in die Form y = f(x).
(2)   y = 2 – 3x    
           
(1)   3x – 4·(2 – 3x) = 22     Nun setzen wir den Term „2 – 3x“ von der 2. Gleichung für  y  in die 1. Gleichung ein.
           
(1)   3x – 8 + 12x = 22     Nun lösen wir die 1. Gleichung nach  x  auf.
           
(1)   15x = 30      
           
(1)   x = 2     Nun setzen wir den x-Wert „2“ in die 2. Gleichung für  x  ein, um den y-Wert zu berechnen.
           
(1)   x = 2     Nun die 2. Gleichung nach y auflösen.
(2)   y = 2 – 3 · 2    
           
(1)   x = 2      
(2)   y = – 4    
           
(1)   3 · 2 – 4 (–4) = 22     Als letzten Schritt setzen wir die Ergebnisse der beiden Gleichungen in die Ausgangsgleichungen ein um zu prüfen, ob das Ergebnis richtig ist.
(2)   9 · 2 + 3 (–4) = 6    
           
(1)   22 = 22     Die Gleichungen ergeben wahre Aussagen. Deshalb ist das Ergebnis richtig.
(2)   6 = 6    



6.  Prüfung des Lösungsverhaltens mit dem Einsetzungsverfahren:
 
a)       b)       c)        
   
0,5x + 0,75y = 5
      
y – x = 3
       y = 1,5x + 2    
    2x + 3y = 12       2y = 2x + 6       y + 1,25x + 3 = 0    
                         
    0,5x + 0,75y = 5       y – x = 3       1,5x + 2 + 1,25x + 3 = 0    
    x = 6 – 1,5y       y = x + 3       2,75x = –5    
                         
    0,5·(6 – 1,5y) + 0,75y = 5       x + 3 – x = 3       x = –1,818    
                         
    3 – 0,75y + 0,75y = 5       3 = 3
wahre Aussage		       y = –2,727 + 2    
                         
    3 = 5
falsche Aussage		       Alle Zahlenpaare (x | y) mit  x IR und  y = x + 3       y = –0,727    

  Das Gleichungssystem hat keine Lösung.   Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.   Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung.



7.  Lösung mit dem Einsetzungsverfahren:
 
  (1)     a + b = c + 7     Als ersten Schritt lösen wir z. B. die 1. Gleichung nach  c  auf.
(2)   2a – b = 8 – c    
(3)   3a + 2b = c + 20    
           
(1)     c  =  a  + b  – 7     Nun setzen wir den berechneten Term von  c  in die 2. und 3. Gleichung ein.
           
(2)   2a – b = 8 – (a + b – 7)     Jetzt werden beide Gleichungen vereinfacht.
(3)   3a + 2b = a + b – 7 + 20    
           
(2)   3a = 15     Normalerweise müssten wir zunächst wieder eine Variable durch die andere ausdrücken. Hier können wir jedoch gleich  a = 5  in Gleichung (3) einsetzen.
(3)   2a + b = 13    
           
(2)   a = 5     Wir lösen nach  b  auf.
(3)   2·5 + b = 13    
           
(3)   b = 3     Die Werte für  a  und  b  setzen wir in Gleichung (1) ein.
           
(1)     c  =  5  + 3  – 7     Wir rechnen  c  aus.
           
(1)   c = 1      



8.  Lösung mit dem Gleichsetzungsverfahren:
 
(1)  
–3x + y = 10
       Als erstes stellt man beide Gleichungen als Funktionsgleichung der Form y = f(x) dar..
(2)   2x + y = 5    
             
(1)   y = 3x + 10       Nun setzt man die Funktionsterme, das heißt die rechten Seiten der beiden Gleichungen, gleich.
(2)   y = – 2x + 5    
             
(3)   3x + 10 = – 2x + 5    +2x   Nun löst man die erhaltene Gleichung mit einer Variablen nach dieser Variablen, also hier nach  x  auf.
(3)   5x + 10 = 5   –10    
(3)   5x = – 5   : 5    
(3)   x = – 1       Nun setzt man den x–Wert (– 1) in eine der obigen Gleichungen ein.
         
(1)   y = 3(– 1) + 10       Nun berechnet man y.
(1)   y = – 3 + 10
        
(1)   y = 7     Als letzten Schritt führt man die Probe aus.
             
(1)   –3(–1) + 7 = 10      
(2)   2(–1) + 7 = 5    
             
(1)   10 = 10       Die Probe zeigt die Richtigkeit der Lösung, deshalb ist das Zahlenpaar (–1 | 7) die Lösung des linearen Gleichungssystems.
(2)   5 = 5