1.0       

Gegeben sind die reellen Funktionen

  IR

    mit   k ≥ 0     k IR .

Der Graph einer solchen Funktion f in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.

1.1.1

Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunktes W des Graphen und begründen Sie, dass der Punkt W Wendepunkt eines jeden Graphen ist . (Teilergebnis: .)   (4 BE)

1.1.2

Ermitteln Sie in Abhängigkeit von k die maximalen Intervalle, in denen die Funktion f_k echt monoton zunehmend ist.   (5 BE)

1.1.3

Zeigen Sie, dass für einen geeigneten Wert von k die Gerade mit der Gleichung Wendetangente des zugehörigen Graphen ist.   (3 BE)

1.2.0

Setzen Sie für die folgenden Teilaufgaben   k = 3.

1.2.1

Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion mit ihren Vielfachheiten und zerlegen Sie den Funktionsterm in Linearfaktoren.   (7 BE)

1.2.2

Geben Sie unter Verwendung bisheriger Ergebnisse Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen an und zeichnen Sie diesen Graphen für mit Hilfe einer geeigneten Wertetabelle.
Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE = 1 cm.   (7 BE)

1.3.0

Die Parabel ist der Graph der quadratischen Funktion ; IR . Die Funktion  p  hat bei  x = –4  eine Nullstelle. Ihr Graph schneidet den Graphen auf der  y-Achse  und hat in diesem Schnittpunkt die Steigung m = .

1.3.1

Bestimmen Sie den Funktionsterm  p(x).
(Ergebnis: )   (6 BE)

1.3.2

Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel und zeichnen Sie diese Parabel für    in das vorhandene Koordinatensystem ein.   (4 BE)

1.3.3

Die Parabel und der Graph schließen im II. Quadranten des Koordinatensystems ein Flächenstück ein.   Berechnen Sie seinen Flächeninhalt.   (5 BE)

1.4.0

Gegeben ist nun die Funktion ; IR , wobei der Graph die Tangente an die Parabel an der Stelle  x = –4  ist.

1.4.1

Zeigen Sie, dass sich der Funktionsterm s(x) in der Form   schreiben lässt.   (4 BE)

1.4.2

Begründen Sie, dass die Funktion  s  im Intervall  [–1; 0]  genau eine Nullstelle hat .   (6 BE)

2.

Im Geometrie-Unterricht der 5.Klasse findet ein "Wettbewerb" statt. Jedes der Kinder erhält ein Stück Draht der Länge 15 cm. Durch rechtwinkliges Aufbiegen je eines Stückes der Länge a an beiden Enden soll daraus ein U-förmiges Gebilde entstehen. Denkt man sich nun die beiden Drahtenden durch eine unsichtbare Linie verbunden, so erhält man ein Rechteck (siehe Skizze).
Sieger des Wettbewerbs ist dasjenige Kind, dessen Rechteck den größten Flächeninhalt hat.

2.1

Stellen Sie die Maßzahl  A(a)  der Rechtecksfläche in Abhängigkeit von  a  dar; bestimmen Sie die Definitionsmenge der Funktion A sinnvoll.
(Teilergebnis: )   (4 BE)

2.2

Berechnen Sie denjenigen Wert von  a,  für den der Flächeninhalt den absolut größten Wert    annimmt. Bestimmen Sie auch  .   (5 BE)

1.0       

Gegeben sind die reellen Funktionen

  IR

    mit   k IR .

Der Graph einer solchen Funktion f in einem kartesischen Koordinatensystem heißt .

1.1.1

Zeigen Sie, dass  x = 2  für alle Werte von  k  eine Nullstelle von  f  ist, und zerlegen Sie damit den Term in ein Produkt mit genau einem Linearfaktor.   (5 BE)
(Mögliches Teilergebnis: )

1.1.2

Untersuchen Sie, für welche Werte von  k  die Funktion  f  neben  x = 2  noch mindestens eine weitere Nullstelle besitzt. Achten Sie dabei auch auf die Sonderfälle  k = – 6  und  k = 2.   ( 9 BE)

1.1.3

Berechnen Sie nun  k  so, dass die Funktion  f  bei  x = –2  eine doppelte Nullstelle hat.   (3 BE)

1.2.0

Für die Aufgaben dieser Gruppe gilt  k = 2.

1.2.1

Bestimmen Sie Art und Koordinaten sämtlicher relativer Extrempunkte sowie die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen .   (9 BE)

1.2.2

Zeichnen Sie den Graphen für –4 ≤ x ≤ 2,5. Verwenden Sie dazu die bisherigen Ergebnisse und berechnen Sie zusätzlich die Funktionswerte f(–4),  f(0)  und  f(2,5).
Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE = 1 cm.   (5 BE)

1.2.3

Der Graph besitzt zwei Tangenten t und t, die parallel zur Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten verlaufen. Die Berührpunkte dieser Tangenten mit dem Graphen heißen B und B.
Der weiter rechts liegende Berührpunkt wird mit  B  bezeichnet.
Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte  B  und  B  sowie die Gleichung der Tangente  t.
(Teilergebnis:  t  hat die Funktionsgleichung  y = x + 2)   (7 BE)

1.2.4

Die Tangente  t  schließt mit dem Graphen  zwischen den Stellen x = –2  und  x = 0  ein endliches Flächenstück ein. (Zwischen diesen beiden Stellen gibt es keinen Schnittpunkt von  t  und  .)
Zeichnen Sie die Gerade  t  in das vorhandene Koordinatensystem ein, schraffieren Sie das oben beschriebene Flächenstück und berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts.   (6 BE)

1.3

Gegeben ist nun die reelle Funktion
, a, b IR .
Berechnen Sie  a  und  b  so, dass die Funktion  g  an der Stelle  x = 0  stetig und differenzierbar ist.   (7 BE)

2.0

Ein Kino hat bei einem Eintrittspreis von DM 10,-- durchschnittlich 200 Besucher. Man schätzt, dass bei einer Erhöhung des Eintrittspreises um DM 1,-- die ursprüngliche Besucherzahl um durchschnittlich 10 abnehmen wird, bei einer Erhöhung um DM 2,-- um 20, bei einer Erhöhung um DM 3,-- um 30 usw.. (Zur Vereinfachung werden für die Berechnungen sämtliche Einheiten weggelassen.)

2.1

Die zu erwartenden Einnahmen in Abhängigkeit von der Preiserhöhung  x  lassen sich mit Hilfe einer differenzierbaren Funktion  E  beschreiben.
Ermitteln Sie den Funktionsterm  E(x). Geben Sie auch eine sinnvolle Definitionsmenge an, wenn man als Grundmenge IR wählt.
(Teilergebnis:   )   (4 BE)

2.2

Berechnen Sie den Eintrittspreis so, dass die Einnahmen den absolut größten Wert annehmen.   (5 BE)