1.1

Bestimmen Sie Art und Koordinaten sämtlicher Extrempunkte sowie die Koordinaten des Wendepunkts von .
(Teilergebnisse: x_T = 3; x_H = –3)   (9 BE)

1.2

Ermitteln Sie mit Hilfe der Extrempunkte aus Teilaufgabe 1.1 diejenigen Werte von k, für die die Funktion f_k eine, zwei bzw. drei Nullstellen hat.   (6 BE)

2.1

Die Funktion  f₅  (k = 5)  besitzt genau eine Nullstelle (vgl. 1.2).
Zeigen Sie, dass sich diese Nullstelle zwischen  x₁ = –7  und  x₂ = –6  befindet.
Führen Sie für diese Nullstelle ausgehend vom Startwert  x₀ = –6,5  zwei Schritte des Newtonverfahrens durch. Geben Sie auch die für die Berechnung notwendigen Teilergebnisse an.
Runden Sie das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.   (8 BE)

2.2

Zeichnen Sie den Graphen im Bereich  –6,5 ≤ x ≤ 6,5  unter Berücksichtigung vorhandener Ergebnisse und unter Berechnung weiterer geeigneter Funktionswerte. Verwenden Sie ein gesondertes DIN-A4-Blatt im Hochformat und legen Sie den Koordinatenursprung in die Blattmitte.
Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE = 1 cm.   (5 BE)

3.0

Die Parabel ist der Graph der quadratischen Funktion  ; IR . Diese Parabel geht durch den Hochpunkt des Graphen und berührt in dessen Tiefpunkt.

3.1

Bestimmen Sie den Funktionsterm  p(x)  und zeichnen Sie die Parabel für  –3 ≤ x ≤ 9  in das vorhandene Koordinatensystem ein.   (8 BE)
(Mögliches Teilergebnis:   p(x) = )

3.2.0   

Gegeben sind die linearen Funktionen  g  mit  g(x) = mx – 3m + 3; = IR und  m IR. Ihre Graphen sind die Geraden .

3.2.1

Zeigen Sie, dass die Parabel von jeder der Geraden in zwei Punkten geschnitten wird.   (4 BE)

3.2.2

Bestimmen Sie für den Sonderfall  m = 1  die  x–Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden und der Parabel .
Zeichnen Sie die Gerade in das vorhandene Koordinatensystem ein und berechnen Sie den Inhalt des endlichen Flächenstücks, das diese Gerade und die Parabel einschließen.   (7 BE)

4.1

Betrachtet wird nun zusätzlich die Funktion (k = –4). Begründen Sie kurz, wie der Graph aus dem Graphen hervorgeht. Zeichnen Sie den Graphen im Bereich –6,5 ≤ x ≤ 6,5 in das vorhandene Koordinatensystem (Teilaufgabe 2.2) ein und geben Sie die Nullstellen der Funktion mit jeweiliger Vielfachheit an.   (7 BE)

4.2

ist die Ableitungsfunktion einer Funktion . Bestimmen Sie die maximalen Intervalle, in denen die Funktion echt monoton zu- bzw. abnimmt. Geben Sie die  x-Koordinaten sämtlicher Punkte an, in denen der Graph waagrechte Tangenten besitzt. Begründen Sie kurz, um welche Art Punkt es sich dabei jeweils handelt.   (6 BE)

Gegeben sind die reellen Funktionen
 IR
   mit a IR .
Der Graph einer solchen Funktion wird mit bezeichnet.

1.1     

Ermitteln Sie das Intervall, in dem  f_a(x) ≥ 0  ist.   (4 BE)

1.2

Bestimmen Sie die Anzahl der Extremstellen der Funktion  f_a  in Abhängigkeit von  a.   (8 BE)
(Mögliches Teilergebnis: . )

1.3

Berechnen Sie den Wert von  a  so, dass der Graph im Schnittpunkt mit der y-Achse die Steigung  m = 1,5  besitzt.   (2 BE)

2.0

Für die folgenden Teilaufgaben wird  a = 4  gesetzt. Der zur Funktion  f₄  gehörende Funktionsterm lässt sich in der Form schreiben.  (Beweis nicht erforderlich !)

2.1

Geben Sie die Nullstellen der Funktion f₄ mit jeweiliger Vielfachheit an.   (2 BE)

2.2

Ermitteln Sie Art und Koordinaten sämtlicher Extrempunkte sowie die Koordinaten des Wendepunkts des Graphen .   (7 BE)

2.3

Zeichnen Sie den Graphen im Bereich  –5 ≤ x ≤ 5  unter Berücksichtigung vorhandener Ergebnisse und unter Berechnung weiterer geeigneter Funktionswerte. Verwenden Sie ein gesondertes DIN-A4-Blatt im Hochformat und legen Sie den Ursprung des Koordinatensystems in die Blattmitte.
Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE = 1 cm.   (4 BE)

3.0

Gegeben ist nun die abschnittsweise definierte Funktion , D = IR
,   mit q, r, s IR.
Der Graph dieser Funktion wird G_g genannt.

3.1

Berechnen Sie  q,  r  und  s  so, dass die Funktion  g  für  x = 0  stetig und differenzierbar ist und der Graph  G  mit dem Graphen (s. Aufgabe 2.3) zusätzlich den Punkt  P(4; 0)  gemeinsam hat.
(Ergebnis:   q = – 0,5;   r = 1,5;   s = 2.)   (8 BE)

3.2

Zeichnen Sie den Graphen  G_g  im Bereich  –5 ≤ x ≤ 5  farbig in das vorhandene Koordinatensystem ein. Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass die Funktion  g  genau zwei Nullstellen besitzt.   (7 BE)

3.3

Der Graph  G_g  schließt mit der x-Achse ein im  I. und II. Quadranten liegendes Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl dieses Flächenstücks.   (6 BE)

4.0

Bei zylinderförmigen Behältern mit Höhe  h  und Radius  r  (Seitenansicht s. nebenstehende Skizze)  ist  QR = 12 dm  konstant. (Einheiten bleiben unberücksichtigt.)

4.1

Stellen Sie die Maßzahl des Volumens  V(h)  des Behälters in Abhängigkeit von der Höhe  h  dar und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge  D_V  der zugehörigen Funktion  V  an.
(Mögliches Teilergebnis: .)   (4 BE)

4.2

Bestimmen Sie  h  (h D_V) so, dass das Volumen den absolut größten Wert annimmt. Bestimmen Sie für diesen Fall auch den Radius  r  des Behälters sowie das maximale Wasservolumen  V_max.   (8 BE)