Prüfung zur Erlangung der Fachhochschulreife
Frühjahr 2003

Aufgabengruppe A:   A I   A II

A I

1.0

Die reelle Funktion  ; = IR
mit
ist die zweite Ableitung der Funktion mit  = IR .
Der Graph der Funktion  f  wird mit    bezeichnet.
Gegeben ist außerdem die reelle Funktion  p:  x p(x);  = IR
mit .
Der Graph dieser Funktion ist die Parabel  .

1.1       

Der Graph    schneidet die Parabel    im Punkt A(2; ).  Die Steigung der Tangente an im Punkt A wird    genannt, die Steigung der Tangente an    im selben Punkt  . Es gilt nun: · = –1. Berechnen Sie den Funktionsterm der Funktion  f.   (8 BE)
(Mögliches Ergebnis:  )

1.2

Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie.   (2 BE)

1.3

Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion  f. Geben Sie auch die zugehörigen Vielfachheiten an.   (4 BE)

1.4

Ermitteln Sie Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von und geben Sie mit deren Hilfe die maximalen Intervalle an, in denen die Funktion  f  echt monoton zunimmt bzw. abnimmt.   (8 BE)

1.5

Bestimmen Sie die maximalen Intervalle, in denen der Graph rechts- bzw. linksgekrümmt ist sowie die Koordinaten der Wendepunkte.   (7 BE)

1.6

Zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte die Graphen  G_f  und  G_p  für  –6  ≤ x  ≤ 6  in ein gemeinsames Koordinatensystem. Verwenden Sie eine eigene Seite.
Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE = 1 cm.   (8 BE)

1.7

G_f  und  G_p  schließen miteinander 3 Flächenstücke ein. Berechnen Sie den Inhalt desjenigen Flächenstücks, das symmetrisch zur y-Achse liegt.   (5 BE)

2.0

Eine Schnecke kriecht auf einer flachen Straße vom Startpunkt aus geradlinig immer in dieselbe Richtung. Modellhaft wird angenommen:
Die Funktion  s:  t   
gibt den zurückgelegten Weg  s (gemessen in Zentimetern)  in Abhängigkeit von der Zeit  t (gemessen in Minuten)  wieder.
Die 1. Ableitung der Funktion  s  nach der Variablen  t  ist die Geschwindigkeit der Schnecke zum entsprechenden Zeitpunkt  t.
(Auf Benennungen wird bei den folgenden Rechnungen verzichtet!)

2.1

Berechnen Sie den zurückgelegten Weg und die jeweilige Geschwindigkeit der Schnecke zu den Zeitpunkten  t = 1  und  t = 2.   (3 BE)

2.2

Ermitteln Sie, nach welcher Zeit die Schnecke ihre größte Geschwindigkeit erreicht hat. Wie groß ist diese maximale Geschwindigkeit?   (4 BE)

3.0

Die schraffierte Fläche in der nebenstehenden Skizze stellt den Rest einer längs eines Parabelstücks  G_g  zersprungenen ehemals rechteckigen Glasplatte dar. Der zu diesem Parabelstück gehörende Funktionsterm lautet:

.

Aus dem Rest der Glasplatte soll eine achsenparallele Scheibe (punktiert) so geschnitten werden, dass der Punkt  P(a; g(a))  auf G_g liegt.

3.1

Stellen Sie die Maßzahl  A(a)  der „neuen“ Rechtecksfläche in Abhängigkeit von der Abszisse  a  des Punktes  P  dar. Geben Sie auch eine sinnvolle Definitionsmenge D_A an. (Lage von P siehe Skizze!)   (4 BE)
(Mögliches Teilergebnis:  )

3.2

Bestimmen Sie nun denjenigen Wert von  a,  für den der Flächeninhalt den größten Wert  A_max  annimmt. Berechnen Sie auch  A_max .   (7 BE)

A II

1.0

Gegeben sind die reellen Funktionen
 f:  x    f(x) ;  = IR
   mit  a IR    a > 0.
Der Graph einer solchen Funktion  f  heißt  .

1.1

Begründen oder widerlegen Sie folgende Behauptung: Es gibt unter den Funktionen  f  solche mit genau einer Nullstelle.   (4 BE)

1.2

Zeigen Sie, dass der Wendepunkt eines jeden Graphen   auf der x-Achse liegt und bestimmen Sie in Abhängigkeit von  a  die Gleichung der Wendetangente.   (6 BE)
(Teilergebnis:  x_W = 2a )

1.3.0

In den folgenden Teilaufgaben ist  a = 2.

1.3.1

Berechnen Sie alle Nullstellen der Funktion  f₂.   (3 BE)

1.3.2

Ermitteln Sie die maximalen Intervalle, in denen die Funktion  f₂  echt monoton zunimmt bzw. abnimmt. Bestimmen Sie auf eine Nachkommastelle gerundet die Koordinaten der Extrempunkte und deren Art.   (8 BE)

1.3.3

Zeichnen Sie unter Verwendung schon bekannter Werte und einer geeigneten Wertetabelle, die auch  f(–0,5)  enthält, den Graphen    für  –1 ≤ x ≤ 9.
Maßstab auf beiden Achsen:  1 LE = 1 cm.
Verwenden Sie eine eigene Seite und legen Sie den Koordinatenursprung in die Blattmitte.   (5 BE)

1.3.4

Tragen Sie in das Koordinatensystem von  1.3.3  die Wendetangente von    ein und kennzeichnen Sie die Fläche, die der Graph    und seine Wendetangente mit der y-Achse einschließen.   (2 BE)

1.4

Berechnen Sie in Abhängigkeit von  a > 0  die Maßzahl des Inhalts der Fläche, die die Wendetangente, der Graph    und die y-Achse einschließen.   (5 BE)

2.0

Der Graph der quadratischen Funktion  p:  x    p(x);  = IR,  geht durch den Punkt  A(–2; 3)  und durch den Wendepunkt des Graphen  .  Die Wendetangente von    ist auch Tangente von  .

2.1

Bestimmen Sie den Funktionsterm  p(x).   (6 BE)
(Mögliches Ergebnis:  p(x) = – x + 4 )

2.2

Zeigen Sie, dass die Graphen    und    genau zwei gemeinsame Punkte aufweisen und geben Sie deren Koordinaten an.   (7 BE)

2.3

Zeichnen Sie die Parabel    für  –4 ≤ x ≤ 6  in das Koordinatensystem von Teilaufgabe 1.3.3 ein.   (2 BE)

3.1

Eine natürliche Zahl heißt vollkommen, wenn sie gleich der Summe ihrer echten Teiler ist.  Beispiel:  6  ist vollkommen, da  6 = 1 + 2 + 3.
Zeigen Sie, dass auch  28  eine vollkommene Zahl ist.   (2 BE)

3.2.0

Eine Fachoberschule beschließt, ein Denkmal zu errichten. Es soll die Form einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche haben. Sie wird in der Hinsicht vollkommen sein, dass die Summe aus dem Umfang der Grundfläche und der Pyramidenhöhe  28 dm  ergibt.

3.2.1

Bestimmen Sie das Volumen  V(s)  der Pyramide in Abhängigkeit von der Länge  s  einer Quadratseite und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge  D_V  an.   (4 BE)
(Teilergebnis:  V(s) = )

3.2.2

Berechnen Sie  s  so, dass das Pyramidenvolumen maximal wird. Geben Sie auch diesen maximalen Wert  V_max  an.   (6 BE)