Prüfung zur Erlangung der Fachhochschulreife
Frühjahr 2005
Aufgabengruppe A:     A I   A II

 

AI

Seminararbeit von Vanja Raicevic, Klasse 13 f

 

1.0   Gegeben sind die ganzrationalen Funktonen dritten Grades
   
   
Der Graph einer solchen Funktion wird mit bezeichnet.

 

  
1.1  
Der Graph besitzt im Koordinatenursprung die Wendetangente mit der
   
Gleichung und enthält den Punkt .
   
Bestimmen Sie den Funktionsterm
   

 

  
(7 BE)
 
1.2  
Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie .

 
(2 BE)
 
1.3   Ermitteln Sie Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte sowie das
   
Krümmungsverhalten des Graphen .
   

 

  
(8 BE)
1.4  
Bestimmen Sie k so, dass der relative Hochpunkt des Graphen auf der
   
Geraden g mit der Gleichung liegt.

 

  
(3 BE)
 
Für alle folgenden Teilaufgaben ist und somit

 

  
1.5  
Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion  .

 
(3 BE)
 
1.6   Zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und geeigneter
   
Funktionswerte den Graphen für in ein Koordinatensystem.
    Verwenden Sie eine eigene Seite.
    Maßstab auf beiden Achsen: 1LE = 1cm.

 

  
(6 BE)
 
2.1  
  ist diejenige Stammfunktion der Funktion mit deren Graph
   
den Punkt enthält. Bestimmen Sie den Funktionsterm  .

 

  
(3 BE)
 
2.2   Ermitteln Sie nur mit Hilfe bereits vorliegender Ergebnisse die maximalen
   
Intervalle, in denen die Funktion   echt monoton zu- bzw. abnimmt.

 

  
(4 BE)
 
2.3  
Der Graph schließt mit der x-Achse zwei Flächenstücke ein. Berechnen Sie
    deren Gesamtinhalt.

 

  
(4 BE)
 
3.0  
Gegeben ist die Funktion mit  .
   
Der Graph der Funktion und besitzen bei dieselbe Tangente.

 

  
3.1  
Berechnen Sie den Funktionsterm  .
   

 

  
(5 BE)
 
3.2   Gegeben ist nun die Funktion
   
   
Was lässt sich über Stetigkeit und Differenzierbarkeit der Funktion   an der
   
Stelle aussagen? Begründen Sie Ihre Aussage nur mit Hilfe vorlie-
    gender Ergebnisse.

 

 

  
(3 BE)
 
4.0   Der Querschnitt des abge-
  bildeten, oben offenen Kanals
  ist begrenzt durch zwei Vier-
  telkrisbögen und durch eine
 
Strecke der Länge
 
Die Höhe des Kanals ist .

 

  
4.1  
Berechnen Sie den Inhalt der schraffierten Querschnittsfläche
    in Abhängigkeit von der Höhe , wenn der „Umfang“
    (2 Viertelkreisbögen und Strecke s) 5 LE beträgt.
    Ermitteln Sie die größtmögliche geometrisch sinnvolle Definitionsmenge der
   
Funktion
   

 

  
(7 BE)
 
4.2   Bestimmen Sie so, dass die Querschnittsfläche den größten Wert besitzt.
    Berechnen Sie diesen Wert. Beschreiben Sie für diesen Fall die Form der
    Querschnittsfläche .

 

  
(5 BE)
 
  Lösungen zur Aufgabengruppe A I
 
 
 

 

 

A II

Seminararbeit von Maria Mitterleitner
 
 
1.0 Gegeben sind die reellen Funktionen 
 mit   und  D = .
Der Graph einer solchen Funktion wird mit G bezeichnet.


1.1 Geben Sie das Verhalten der Funktionswerte für  und  an. (2 BE)


1.2 Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f und geben Sie auch die zugehörigen Vielfachheiten an. (4 BE)


1.3 Zeigen Sie rechnerisch, dass alle Graphen G im Ursprung dieselbe Tangente besitzen. (3 BE)


1.4 Berechnen Sie a so, dass der Graph G bei  x= 2 einen relativen Extrempunkt hat.
Bestimmen Sie Art und Koordinaten dieses Extrempunkts. (5 BE)


Für alle folgenden Teilaufgaben ist a = 4 und


1.5 Ermitteln Sie das Krümmungsverhalten des Graphen G und untersuchen Sie, ob Wendepunkte vorliegen. (4 BE)


1.6 Zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte den Graphen G für  in ein Koordinatensystem.
Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE= 1 cm. (5 BE)


1.7 Die Funktion F mit D= ist eine Stammfunktion von f.
Untersuchen Sie F auf Wendestellen, ohne F(x) zu berechnen. (3 BE)


1.8 Gegeben ist nun die abschnittsweise definierte Funktion
g: x     


1.8.1 Weisen Sie nach, dass die Funktion g an der Nahtstelle stetig ist.
Untersuchen Sie anschließend rechnerisch, ob der Graph von g an dieser Stelle „ohne Knick“ verläuft. (6 BE)


1.8.2 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion g für  mit Farbe in das vorhandene Koordinatensystem ein. (4 BE)


1.9 Zwischen den Graphen G, G, der Geraden x = 2 und dem Koordinatenursprung liegt im 4. Quadranten ein Flächenstück.
Schraffieren Sie dieses Flächenstück und berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts. (6 BE)


2.0 Untenstehende Skizze zeigt den Querschnitt einer überdachten Wasserrutsche.
Der Graph G stellt die Wasserrutsche, der Graph G stellt die Bedachung dar,
die über die Rutsche hinaus verlängert ist.



Die Funktionen w und b sind gegeben durch



2.1 Berechnen Sie, an welcher Stelle xdie Wasserrutsche das stärkste Gefälle aufweist. (4 BE)


2.2 Kondenswasser, das sich an der Unterseite der Bedachung gebildet hat, tropft von der tiefsten Stelle des Daches herunter.
Berechnen Sie die Stelle  x, an der das Wasser heruntertropft.  (4 BE)


2.3 Die Funktion d:x d(x) mit  D beschreibt den in y-Richtung gemessenen Abstand zwischen Wasserrutsche und Dach.
Zeigen Sie, dass sich d(x) auch in der Form
d(x) =  schreiben lässt. (2 BE)


2.4 Aus Sicherheitsgründen wird ein in y-Richtung gemessener Mindestabstand zwischen Wasserrutsche und Dach von 3,30 (LE) vorgegeben. Untersuchen Sie rechnerisch, ob dieser Mindestabstand an jeder Stelle eingehalten wird. (8 BE)

 
  Lösungen zur Aufgabengruppe A II