A II

Seminararbeit von Melanie Rothkegel, Klasse 13d, Januar 2007

1.0
Gegeben sind die reellen Funktionen und mit .

1.1
Zeigen Sie, dass in der gesamten Definitionsmenge gilt und geben Sie die Bedeutung dieser Gleichung für den Graphen von f an.

1.2
Bestimmen Sie die Nullstellen von f mit jeweiliger Vielfachheit.

1.3
Ermitteln Sie mit Hilfe der Ergebnisse von 1.1 und 1.2 Art und Koordinaten sämtlicher Extrempkunkte des Graphen der Funktion g.

1.4
Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an im Punkt .

1.5
Bestimmen Sie die maximalen Intervalle, in denen der Graph rechts- bzw. linksgekrümmt ist sowie die Koordinaten der Wendepunkte und .
[Teilergebnis: ]

1.6
Zeichnen Sie den Graphen für in ein Koordinatensystem. Verwenden Sie dazu auch die Ergebnisse aus 1.l bis 1.5. Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE = 1 cm.

1.7
Die Strecke [] zwischen den beiden Hochpunkten (siehe 1.3) und der Graph von g begrenzen ein Flächenstück. Berechnen Sie dessen Inhalt.

2.0
Gegeben ist die Funktion ; . Ihr Graph hat folgendes Aussehen:

2.1
Geben Sie die Nullstellen der Funktion h an.

2.2
An der Stelle gilt , ; an der Stelle gilt , . Geben Sie an, welcher Art die Punkte und demnach sind.

2.3
Erläutern Sie kurz, was es jeweils für den Graphen bedeutet, wenn in einem bestimmten Intervall eine der Bedingungen

(A):

(B):

(C):

gilt.

2.4
Geben Sie mit Hilfe der Zeichnung jeweils diejenigen Intervalle an, in denen
a) die Bedingungen (A) und (B) aus 2.3 zugleich,
b) alle 3 Bedingungen aus 2.3 zugleich gelten.

2.5
Im Intervall [-1 ; 4] lässt sich die Funktion h mit Hilfe von zwei ganzrationalen Termen 2. Grades darstellen. Geben Sie diese Darstellung in abschnittsweise definierter Form an.

3.0

Nebenstehendes Diagramm beschreibt den Zusammenhang zwischen der Momentangeschwindigkeit v(t) eines Fahrzeugs (in Kilometer pro Minute) und der Zeit t (in Minuten). (Auf Benennungen wird verzichtet!)

3.1
Begründen oder widerlegen Sie anhand des Diagramms die Behauptung:
Die Funktion v ist im dargestellten Bereich differenzierbar.

3.2
Geben Sie die Geschwindigkeiten zur Zeit und an.

3.3
Die 1. Ableitung der Geschwindigkeit v(t) ist die Beschleunigung a(t) des Fahrzeugs.
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion a.

3.4
Die Geschwindigkeit v(t) ist die 1. Ableitung der Funktion s(t), die den in der Zeit t zurückgelegten Weg beschreibt.
Bestimmen Sie mit Hilfe der Zeichnung den am Ende (nach 6 Minuten) zurückgelegten Weg.

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