Prüfung zur Erlangung der Fachhochschulreife
Frühjahr 2007

Aufgabengruppe A:   A I    A II

A I

1.0

Gegeben sind die reellen Funktionen mit IR k ≥ 0 und IR. Der Graph einer solchen Funktion wird mit bezeichnet.

  
1.1 Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion fk in Abhängigkeit von k. Geben Sie auch die zugehörigen Vielfachheiten an. (5 BE)
1.2 Bestimmen Sie die maximalen Krümmungsintervalle von sowie mit deren Hilfe die Koordinaten des Wendepunktes.
[Teilergebnis: ]		 (6 BE)
1.3 Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente tk.
[Ergebnis: tk: y = ]
 (4 BE)
1.4 Bestimmen Sie denjenigen Wert von , für den der Inhalt des rechtwinkligen Dreiecks, das von der Wendetangente und den Koordinatenachsen begrenzt wird, 288 FE beträgt. (6 BE)
2.0 Nun sei k = 3. Man erhält die Funktion f3 mit .  
2.1 Ermitteln Sie die maximalen Intervalle, in denen die Funktion f3 echt monoton zunimmt bzw. abnimmt. Bestimmen Sie Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte des Graphen. (7 BE)
2.2 Zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion für –0,5 ≤ x ≤ 4 in ein Koordinatensystem. Zeichnen Sie auch den Wendepunkt und die Wendetangente ein. Maßstab: 1 LE = 2 cm. (5 BE)
2.3 Der Graph , die Wendetangente und die x-Achse schließen zwei Flächenstücke ein. Markieren Sie das größere der beiden im Koordinatensystem von Teilaufgabe 2.2 und berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts. (8 BE)
3.0

Für einen Snowboard-Sprungwettbewerb wird eine Rampe präpariert. Die Teilnehmer starten von einer waagrechten Plattform (AB), gleiten ab B(-5|4) ohne Knick durch die Rampe (BC) und beginnen den Sprung im Punkt C(0|0). Die Bahnkurve des Sprunges entspricht annähernd einer Parabel.

Skizze des Querschnitts, Flugbahn gestrichelt gezeichnet:

Der Querschnitt der Rampe (BC) kann durch die ganzrationale Funktion dritten Grades beschrieben werden mit Tiefpunkt .

  
3.1 Ermitteln Sie den Funktionsterm r(x) dieser Funktion. (9 BE)
3.2 Die Kurve aus obiger Skizze wird durch folgende abschnittsweise definierte Funktion beschrieben:

Die Funktion g ist stetig innerhalb ihrer gesamten Definitionsmenge (Nachweis nicht erforderlich). Begründen Sie rechnerisch, dass die Funktion an den Stellen x1 = –5 und x2 = 0 differenzierbar ist.		 (6 BE)
3.3 Bestimmen Sie die Koordinaten desjenigen Punktes im abfallenden Teil der Rampe, in dem diese am steilsten ist.

(4 BE)

 

A II

Seminararbeit von Merlin Meister, Klasse 13f, Oktober 2007


1.0

Gegeben sind die reellen Funktionen . Der Graph einer solchen Funktion wird mit bezeichnet.  
1.1
Begründen Sie die folgende Aussage: Für jeden Parameter k mit k < 0 schneidet der Graph die x- Achse zweimal, berührt sie jedoch nicht.(3 BE)
1.2 
Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie. (2 BE)
1.3
Bestimmen Sie in Abhängigkeit von k die x-Koordinaten derjenigen Punkte, in denen der Graph waagrechte Tangenten aufweist. (7 BE)
1.4
Ermitteln Sie denjenigen Wert von k, für den der Graph die x-Achse an der Stelle = 2 berührt. (3 BE)

 

2.0
Jetzt wird k=4 gesetzt. Man erhält die Funktion mit .
2.1
Bestimmen Sie die Nullstellen von und geben Sie auch die zugehörigen Vielfachheiten an. (3 BE)
2.2
Ermitteln Sie Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte des Graphen von sowie die Koordinaten der Wendepunkte. (8 BE)
2.3
Zeichen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion  für in ein Koordinatensystem. Verwenden Sie dafür eine eigene Seite und zeichnen Sie den Ursprung des Koordinatensystems in die Blattmitte. Maßstab: 1 LE = 1 cm. (4 BE)

 

3.0
Gegeben ist weiter die reelle Funktion mit reellen Konstanten a, b und c sowie . Der Graph dieser Funktion schneidet den Graphen der Funktion auf der y- Achse und besitzt bei einen Terassenpunkt.  
3.1
Berechnen Sie den Funktionsterm h(x) der Funktion h.
(Ergebnis: ). (7 BE)
3.2
Zeigen Sie, dass sich die Graphen der Funktionen und h für berühren und auf der y- Achse schneiden, aber nicht berühren.
(4 BE)
 3.3 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion h für in das Koordinatensystem von Aufgabe 2.3 ein. (4 BE)
 3.4 Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das im II. Quadranten zwischen dem Graphen der Funktion h und den beiden Koordinatenachsen liegt. (4 BE)

 

 4.0 In einen dreieckigen Dachgiebel soll symmetrisch zur Mittelachse (y- Achse) ein rechteckiges Fenster eingebaut werden. Das Fenster soll auf einem Sims der Höhe 1 LE aufsitzen und mit den oberen Ecken an den Dachgiebel heranreichen (siehe Skizze):  
 
 
   
     
 4.1 Stellen Sie den Flächeninhalt A(a) des Fensters in Abhängigkeit von a (siehe Skizze) dar und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge der Funktion A an. [Mögliches Teilergebnis: ]. (7 BE)
 4.2 Bestimmen Sie nun a so, dass der Flächeninhalt des Fensters den größten Wert annimmt. Ermitteln Sie auch Breite und Höhe dieses Fensters. (4 BE)