Prüfung zur Erlangung der Fachhochschulreife
Frühjahr 2004

Aufgabengruppe S:   S I   S II
 
 
 

Aufgabengruppe S I


Seminararbeit von Hong Ha Vu, Oktober 2004
 
 
1.0

Ein Betrieb stellt Kunststoffgehäuse her. Die dazu benutzte Maschine besteht aus drei wichtigen Bauteilen A, B und C, die unabhängig voneinander arbeiten. Die Maschine funktioniert jedoch nur dann einwandfrei, wenn alle drei Bauteile in Ordnung sind. Die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass eines der 3 Bauteile innerhalb eines Arbeitstage einwandfrei arbeitet, betragen P(A) = a, P(B) = 0,9 und P(C) = 0,8.

 

1.1

Längere Beobachtungen haben ergeben, dass die Maschine mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,612 innerhalb eines betrachteten Arbeitstages einwandfrei arbeitet. Zeigen Sie unter dieser Voraussetzung, dass gilt: a = 0,85.       (2 BE)

 

1.2

Das Zufallsexperiment besteht in der Feststellung, welche der drei Bauteile innerhalb eines Arbeitstages einwandfrei arbeiten. Veranschaulichen Sie mit Hilfe eines Baumdiagramms alle dabei auftretenden Möglichkeiten. Bestimmen Sie anschließend die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse (3 Nachkommastellen).       (6 BE)

 

1.3

Die Zufallgröße X gibt die Anzahl der Bauteile an, die während eines Arbeitstages einwandfrei arbeiten. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung (Wertetabelle) der Zufallsgröße X.      (3 BE)

 

1.4

Zeichnen Sie mit Hilfe einer Wertetabelle den Graphen der zu 1.3 gehörigen kumulativen Verteilungsfunktion F. Bestimmen Sie dann p = 1 - F(1,5) und interpretieren Sie diesen Wert im Sinne der vorliegenden Thematik.       (6 BE)

 

1.5

Nun wird ein Zeitraum von 6 Arbeitstagen betrachtet. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
"Die Maschine fällt nur am 4. Arbeitstag aus."
"Die Maschine fällt an genau zwei Arbeitstagen aus."       (5 BE)

 

2.0

Die Qualität der Kunststoffgehäuse wird durch regelmäßig stattfindende Kontrollen am Ende der Fertigung überprüft. Diese über einen langen Zeitraum hinweg geführten Kontrollen ergeben, dass im Schnitt 8% der Gehäuse einen Materialfehler (M) aufweisen; 5% haben nicht akzeptierbare Formabweichungen (F). Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Gehäuse beide Fehler zugleich aufweist, beträgt 0,03.

 

2.1

Prüfen Sie, ob die Ereignisse M und F stochastisch unabhängig sind.       (3 BE)

 

2.2

Beschreiben Sie mit Worten das Ereignis und bestimmen Sie mit Hilfe einer Vierfeldertafel folgende Wahrscheinlichkeiten:
      (8 BE)

 

3.0

Die Maschine wird nun durch neue entwickelte Teile so verbessert, dass der Anteil der fehlerhaften Gehäuse auf weniger als 10% gesenkt werden kann (Gegenhypothese). Zur Überprüfung der Fertigungsqualität der verbesserten Maschine wird ein Signifikanztest der Länge 200 auf dem 2%- Niveau durchgeführt.

 

3.1

Geben Sie für diesen Signifikanztest die Testgröße (in Worten) sowie die Nullhypothese und die Art des Test an. Ermitteln Sie den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese.      (5 BE)

 

3.2

Erläutern Sie kurz, worin bei diesem Test der Fehler 2. Art besteht.      (2 BE)

 


 

Aufgabengruppe S II

Seminararbeit von Eva Schirmbeck, Oktober 2004

 

1.0 Eine große Automobilfirma produziert auf einem Montageband drei verschiedene Modelle: Kombis (K), Limousinen (L) und Coupés (C). Die Reihenfolge der Modelle auf dem Montageband wird als zufällig betrachtet. Die Wahrscheinlichkeiten, ein bestimmtes Modell auf dem Band anzutreffen, betragen P(K) = 0,25, P(L) = 0,65 sowie P(C) = 0,1 und können als konstant angenommen werden. (Hinweis: Alle zu berechnenden Wahrscheinlichkeiten sind auf jeweils 4 Stellen nach dem Komma anzugeben.)
1.1 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter 200 zufällig ausgewählten Fahrzeugen mindestens 20 aber höchstens 30 Coupés befinden. (3 BE)
1.2 Berechnen Sie, wie viele Coupés man unter den 200 Fahrzeugen erwarten würde. (2 BE)
1.3.0 Für die Endabnahme der Fahrzeuge stehen mehrere Prüfstände zur Verfügung, von denen im Folgenden zwei näher betrachtet werden. Zu einem bestimmten Zeitpunkt sind beide Prüfstände mit Fahrzeugen belegt.
1.3.1   Veranschaulichen Sie die Belegung dieser Prüfstände mit den verschiedenen Modellen in einem Baumdiagramm und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten sämtlicher neun Elementarereignisse. (5 BE)
1.3.2 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden Prüfstände mit den gleichen Modellen belegt sind. (2 BE)
1.4 Vor einem Prüfstand stauen sich Fahrzeuge oben genannter Modellreihen. Es werden folgende Ereignisse betrachtet:
E1: "Die ersten vier Fahrzeuge sind Limousinen."
E2:Unter den ersten drei Fahrzeugen sind keine gleichen Modelle."
Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeiten P(E1) und P(E2). (4 BE)
1.5

Von 9 Fahrzeugen entspricht in n Fällen die Motoreinstellung nicht der Norm. Dabei ist n {0;1;2;...;9}. Berechnen sie in Abhängigkeit von n die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E: „Die Motoreinstellung der ersten zwei Autos ist fehlerhaft.”

Ermitteln Sie für die Anzahl n der fehlerhaften Autos.
(Mögliches Teilergebnis: ) (6 BE)
2.0 Hinsichtlich der Motorisierung gibt es fünf Motorvarianten nummeriert nach steigender Leistung von 1 bis 5. Die Zufallsgröße X gibt die Nummer der jeweiligen Variante an. Die Modelle mit den Varianten 2 und 4 haben zusammen einen Anteil von 35 %. Die Verteilung der Motorvarianten wird mit den Parametern a, b wie folgt angegeben.
 
x
 1 2 3 4 5
P(X=x)  0,31    b    2b    a     a²  
2.1 Berechnen Sie die Parameter a und b. (Ergebnis: a = 0,2; b = 0,15) (7 BE)
2.2 Zeichnen Sie ein zugehöriges Histogramm. (2 BE)
2.3 Die Aufpreise für die verschiedenen Motorisierungen sind untenstehender Tabelle zu entnehmen. Berechnen Sie k so, dass sich ein durchschnittlicher Aufpreis von 2000 € ergibt. (3 BE)
 
Motorvariante 1 2 3 4 5
Aufpreis in €    0     1800   2300   3200     k   
3. Die Automobilfirma bezieht die Türverkleidungen von einem Zulieferbetrieb. Der Liefervertrag sieht vor, dass bei 2 % der Verkleidungen kleinere Farbunregelmäßigkeiten auftreten dürfen. Man vermutet, dass dieser Wert überschritten wird (Gegenhypothese). Deshalb werden 200 Verkleidungen untersucht. Geben Sie für diesen Test die Testgröße und die Art des Tests an. Berechnen Sie ferner den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf einem Signifikanzniveau von 5 %. (6 BE)