Prüfung zur Erlangung der Fachhochschulreife
2005

Aufgabengruppe SI

1.0	Ein Erlebnisparkbetreiber befragt eine große Zahl von Besuchern, ob sie aus der Region (R) kommen oder überregionale Besucher sind. Ferner interessiert, ob sie mit dem Auto(A), dem Bus(B) oder auf sonstige Weise(S) angereist sind. 45% der Befragten kommen aus der Region; von diesen haben 68% das Auto und 28% den Bus benutzt. 62% der überregionalen Besucher sind mit dem Auto angereist, 36% mit dem Bus. Das Ergebnis der Befragung wird als Zufallsexperiment aufgefasst, die gegebenen Prozentsätze als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.
1.1	Ermitteln Sie alle 6 Elementarereignisse des Zufallsexperiments und deren Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe eines Baumdiagramms.  (6BE)
1.2	Es werden nun folgende Ereignisse betrachtet: E1: " Ein Besucher kommt nicht aus der Region oder reist mit dem Bus an." E2: " Ein Besucher stammt aus der Region und reist nicht mit dem Auto an." Geben Sie diese Ereignisse in aufzählender Mengenschreibweise an. (2BE)
2.0	An der Kasse des Erlebnisparks werden Bargeld und Kreditkarten akzeptiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Besucher mit Bargeld bezahlt, beträgt p. Es werden im Folgenden 12 zufällig ausgewählte Personen betrachtet.
2.1	Berechnen Sie für den Fall p= 0,8 die Wahrscheinlichkeit, dass von diesen 12 Personen mindestens 11 mit Bargeld bezahlen. (3BE)
2.2	Ermitteln Sie wie groß p mindestens sein müsste, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von wenigstens 0,5 alle 12 Personen mit Bargeld bezahlen. (3BE)
3.0	Nach Angaben der Betreiber des Erlebnisparks gehen 75% der Besucher ins Varieté(V), 65% fahren mit der Wildwasserbahn(W), während 5% keines dieser beiden Angebote nutzen. Alle Prozentangaben werden als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.
3.1	Beschreiben Sie die Ereignisse und möglichst einfach mit Worten im Sinne der vorliegenden Thematik. Berechnen sie deren Wahrscheinlichkeiten z.B. mit Hilfe einer Vierfeldertafel. (6BE)
3.2	Untersuchen Sie durch Rechnung, ob die Ereignisse W und V stochastisch unabhängig sind. (2BE)
4	Ein Achterbahnzug besitzt 40 Sitzplätze. Am Wochenende ist ein Sitzplatz mit der Wahrscheinlichkeit 0,9 besetzt. Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der freien Plätze bei einer zufällig ausgewählten Fahrt an. Untersuchen Sie, ob der Wert x=6 der Zufallsgröße X innerhalb der doppelten Standardabweichung um den Erwartungswert liegt. (6BE)
5.0	Bei entsprechenden, vom Zufall abhängigen Voraussetzungen wird die Öffnungszeit des Parks verlängert. Die Zufallsgröße Y gibt die Verlängerung der Öffnungszeit in Stunden an. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich mit Hilfe eines Parameters a so darstellen: y 0 1 1,5 2 P(Y=y) 0,4 1,5a a 0,5a
5.1	Berechnen Sie den Parameterwert a und stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße Y geeignet graphisch dar. (3BE)
5.2	Setzen Sie a=0,2. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Verlängerung der Öffnungszeit größer ist als der Erwartungswert E(Y). (3BE)
6	Auf vielfache Nachfrage bietet das Parkrestaurant mehr fleischlose Gerichte an als früher. Durch einen Test soll herausgefunden werden, ob sich dadurch der Anteil der verkauften fleischlosen Gerichte gegenüber bisher 30% erhöht hat (Gegenhypothese). Hierzu werden die Essensbestellungen von 200 zufällig ausgewählten Gästen ausgewertet. Geben Sie die Testgröße T und die Nullhypothese H0 an. Bestimmen Sie den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf dem 5%-Niveau. Entscheiden Sie aufgrund dieses Tests ob die Nullhypothese abgelehnt wird, wenn 71 fleischlose Gerichte bestellt werden. (6BE)

Aufgabengruppe S II

Seminararbeit von Florian Lermer, Oktober 2005

1.0

Zu Beginn eines Schuljahres kontrolliert die Polizei regelmäßig vor den Grundschulen einer Stadt die Einhaltung der zulässigen Höchstgeschwindigkeit. Je nach Höhe der Geschwinigkeitsüberschreitung werden die „Temposünder“ in fünf Gruppen a bis e eingeteilt. Die Auswertung der Daten ergibt folgende Übersicht:

Gruppe	„Temposünder“ in %	fälliger Betrag in €
a	45	15
b	25	25
c	5	35
d	15	50
e	10	60

Die „Temposünder“ werden angehalten. Dabei werden auch die Fahrzeugpapiere überprüft. Unabhängig von der Höhe der Geschwindigkeitsüberschreitung können im Mittel 20 % der Schnellfahrer diese nicht vorweisen (F).

1.1

Erstellen Sie ein Baumdiagramm, aus dem hervorgeht, in welche Gruppe ein zufällig ausgewählter „Temposünder“ einzuordnen ist und ob er seine Fahrzeugpapiere vorweisen kann oder nicht. Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeiten aller zehn Elementarereignisse. (5 BE)

1.2

Die Zufallsgröße X gibt den zu zahlenden Geldbetrag eines zufällig herausgegriffenen Temposünders an. Berücksichtigen Sie, dass im Falle fehlender Fahrzeugpapiere zusätzlich 10 € zu bezahlen sind.

1.2.1

Erstellen Sie eine Wertetabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X. (4 Be)

1.2.2

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 40 € zu bezahlen sind. (2 BE)

1.2.3

Berechnen Sie, welchen durchschnittlichen Betrag ein Temposünder zahlen muss. (3 BE)

1.2.4

Für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E gilt P(E) = P(15<X ≤50). Ermitteln Sie P(E) und beschreiben Sie das Ereignis mit Worten. (3 BE)

2.0

An einer Grundschule wird durch regelmäßige, voneinander unabhängige Messungen festgestellt, dass im Schnitt 10 % der vorbeifahrenden Fahrzeuge zu schnell sind. Bei einer Kontrolle werden 200 Fahrzeuge überprüft.

2.1

Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit mehr als 12 % der Fahrer mit überhöhter Geschwinigkeit unterwegs sind.
Zeigen Sie ferner, dass die Anzahl dieser „Verkehrssünder“ den Erwartungswert um mehr als die einfache Standardabweichung überschreitet. (7 BE)

2.2

Es wird überlegt, eine stationäre Überwachungsanlage einzurichten. Modellhaft wird angenommen, dass die Einnahmen von Verwarnungsgebühren bzw. Bußgeldern in den ersten 30 Tagen nach Inbetriebnahme der Anlage konstant bleiben. Anschließend wird die Anzahl der Temposünder durch den Lerneffekt halbiert. Berechnen Sie, nach wie vielen Tagen die Anschaffungskosten von 60000 € durch die Einnahmen gedeckt wären, wenn man von einem durchschnittlichen Betrag von 28 € und 200 überprüften Fahrzeugen pro Tag ausgeht. (4 BE)

2.3

Durch Schilder mit der Aufschrift „RADARKONTROLLE“ glaubt man, den Anteil der Temposünder auf 2 % reduzieren zu können. Die Eltern bezweifeln dies (Gegenhypothese). In einem Test werden 200 Fahrzeuge kontrolliert.
Geben Sie die Testgröße sowie die Nullhypothese an und ermitteln Sie deren größtmöglichen Ablehnungsbereich auf dem 5%-Niveau. (5 BE)

3.0

Stichpunktmäßige Verkehrskontrollen ergaben, das 80 % aller Fahrer ihre Papiere vorweisen können (F). 10 % aller Fahrer fahren zu schnell (S). Die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebig herausgegriffener Fahrer mit überhöhter Geschwindigkeit unterwegs ist und seine Papiere nicht dabei hat, beträgt 6 %.

3.1

Untersuchen Sie mit Hilfe einer Vierfeldertafel ob die Ereignisse F und S  sochastisch unabhängig sind. (4 BE)

3.2

Beschreiben Sie das Ereignis FS möglichst einfach mit Worten im Sinne der vorliegenden Thematik und berechnen Sie seine Wahrscheinlichkeit. (3 BE)