1. Geraden in der Ebene

1.1 Vektorform

Für die Darstellung der Vektorform benötigen wir einen Punkt  P als Stützpunkt, bzw. den Stützvektor . Bei dem Stützpunkt handelt es sich um einen beliebigen Punkt, der auf der Geraden liegt. Desweitern benötigen wir den Vektor , der in Richtung der Geraden verläuft und Richtungsvektor genannt wird. Legen wir nun den Richtungsvektor an den Stützpunkt und strecken ihn mittels des reellen Streckungsfaktors r, so können wir vom Ursprung aus vektoriell jeden Punkt X auf der Geraden erreichen.

Es ergibt sich nämlich
Hinweis:  Ist statt ein zweiter Geradenpunkt Q gegeben, so kann man mit Hilfe von P und Q den Richtungsvektor    leicht bestimmen:  = .

Beispiele:

Gegeben ist die Gerade g, die durch den Punkt P(3/3) geht, mit dem Richtungsvektor .  Für soll der dazugehörige Punkt gesucht werden .
.  Für erhält man nun , also
.  Damit ist      und  (-1/1)  ist ein Punkt auf der Geraden g.

Genau so ist es möglich, für den Punkt  (-3/0), der ebenfalls auf der Geraden g liegt, das dazugehörige    zu finden:


An dieser Stelle müssen wir die obere Gleichung in zwei Gleichungen aufteilen:


Sowohl für I also auch für II gilt .

Siehe auch: Applets "Parameterdarstellung von Geraden" und "Raumgeraden in vektorieller Darstellung "

1.2 Koordiatenform

Wenn wir eine Gerade g in der Ebene haben, die durch einen Punkt verläuft und den Richtungsvektor    hat, lässt sich für einen beliebigen Punkt X (x/y) folgende Gleichung aufstellen: 











Diese Form wird auch als parameterfrei bezeichnet, da kein r mehr vorhanden ist.

Ausmulipliziert ergibt dies:
Ersetzt man nun durch a, durch b und durch d, so erhält man die allgemeine parameterfreie Gleichung einer Geraden in der Ebene, auch Koordinatenform genannt: .

Beispiele:

Gegeben ist die Koordinatenform der Geraden
Prüfen Sie, ob der Punkt (3/2) auf g liegt.

Bestimmen Sie x so, dass der Punkt (x /-3,5) auf der Geraden g liegt.