a)  Klärung des Begriffs

     Gegeben sind die folgenden Funktionen:
     f :   x ;       f :   x ;       f :   x ;       f :   x 

     1. Grenzen Sie die genannten Funktionen von Polynomfunktionen ab!   

     2. In  welcher  Beziehung  stehen  die  genannten  Funktionen  zu  Polynom-
         funktionen?   

     3. Definieren Sie nun den Begriff „Rationale Funktion“!   


b)  Symmetrie bezüglich des Koordinatensystems

     4. Welches Kriterium muss erfüllt sein, damit der Graf einer Funktion 
     4.1 achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse,
     4.2 punktsymmetrisch bzgl. des Koordinatenursprungs verläuft?   

     5. Testen Sie nun die vier eingangs genannten Funktionen auf Symmetrie bzgl. des
         Koordinatensystems!   

     6. Stellen Sie  eine  einfache  Regel  auf,  wie  aus dem  Symmetrieverhalten  des
         Zähler-  und  Nennerpolynoms  auf  das  Symmetrieverhalten  der  rationalen
         Funktion geschlossen werden kann.   

     7. Formulieren Sie den Umkehrschluss zu der in Aufgabe 6  aufgestellten Regel
         und beurteilen Sie dessen Gültigkeit!   


c)  Definitionsmenge

     Dass eine Polynomfunktion wie jede Funktion eine Definitionsmenge besitzt, fällt
     allenfalls bei Extremwertaufgaben auf, wo die Definitionsmenge aus praktischen
     Gründen eingeschränkt werden muss. Bei rationalen Funktionen hingegen gibt es
     für eine Einschränkung der Definitionsmenge mathematische Gründe.

     8. Was versteht man unter der Definitionsmenge einer Funktion?   

     9. Welchen Grund  gibt es  bei rationalen Funktionen  für die  Einschränkung  der
         Definitionsmenge?   

     10. Bestimmen Sie für i = 1, .. ,4 die Definitionsmengen  ID der in  a)  genannten
           Funktionen  f !   


d)  Verhalten der rationalen Funktion an den Definitionslücken

     11. f: x 
     11.1 Wählen Sie für x die Zahlenfolge , n = 1; 2; 3; . . . , und beobachten
            Sie, wie sich die Funktionswerte verhalten!

     11.2 Führen Sie die gleiche Untersuchung für  x < 0  durch!

     Die in 11.1  und 11.2  gewonnene Erkenntnis lässt sich formal folgendermaßen
     wiedergeben: 
     x  0       f(x)   +∞
     x  0       f(x)   –∞
     oder kurz:   x  0       f(x)    ∞

     Eine solche Definitionslücke, in deren Umgebung die Funktionswerte gegen ∞
     oder gegen –∞ streben, heißt „Polstelle“ oder „Unendlichkeitsstelle“.
     Im Beispiel handelt es sich um eine Polstelle „mit Vorzeichenwechsel“.

     11.3 Durch welche einfache Abwandlung des Funktionsterms von f liegt bei
            x = 0  eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor?   

     12. f: x 

     12.1 Wählen Sie Zahlenfolgen, die von links bzw von rechts gegen die jeweilige
            Definitionslücke streben, und ermitteln Sie mit Hilfe des Taschenrechners,
            wie sich die Funktionswerte verhalten!

     Die beiden Definitionslücken sind also Polstellen mit Vorzeichenwechsel.
     Zu dieser experimentellen Möglichkeit, das Verhalten der rationalen Funktion
     an ihren Definitionslücken zu ermitteln, gibt es eine elegante Alternative: 
     Zunächst macht man sich das Verhalten des Nenners an einer Skizze klar:
     
 
     Dann folgt:
     x  –1     f(x) =     ∞;         x  1     f(x) =     ∞
     Wegen der Punktsymmetrie des Grafen von f folgt das Verhalten von f an der
     rechten Definitionslücke  auch aus seinem Verhalten  an der  linken Definitions-
     lücke.

     Es gibt auch eine tabellarische Darstellungsmöglichkeit für den Sachverhalt:

	x <	–1	< x <	0	< x <	1	< x
Zähler von f	–	–	–	0	+	+	+
Nenner von f	+	0	–	–	–	0	+
f(x)	–	–∞ / +∞	+	0	–	–∞ / +∞	+

     12.2 Durch welche einfache Abwandlung des Funktionsterms von f liegen bei
             x = –1  und  x = 1  Polstellen ohne Vorzeichenwechsel vor?   

     13. f: x 

     13.1 Untersuchen Sie das Verhalten von  f  an ihrer linken Definitionslücke!
             

     13.2 Wählen Sie Zahlenfolgen,  die von links bzw. von rechts gegen die rechte
             Definitionslücke streben, und ermitteln Sie mit Hilfe des Taschenrechners,
             wie sich die Funktionswerte verhalten!

     An der Definitionslücke  x = 0  streben die Funktionswerte von  f  offenbar
     nicht gegen ∞ oder gegen –∞, sondern augenscheinlich gegen den Wert  y = 1.
     Dieses  überraschende  Verhalten  hängt  damit  zusammen,  dass  man  den
     Funktionsterm von  f  um den Faktor x kürzen kann, und der gekürzte Term
     bei  x = 0  plötzlich definiert ist.

     13.3 Führen Sie diesen Kürzvorgang durch, und untersuchen Sie das Verhalten
             der Funktion  f bei  x = 0  an ihrem gekürzten Term!   

     Eine solche Definitionslücke,  in deren Umgebung  die Funktionswerte  gegen
     einen  endlichen  Wert  streben,  heißt  „stetig  behebbare  Lücke“  oder  kurz
     „hebbare Lücke“.
     Dieser Begriff kommt daher, dass der gekürzte Term die besagte Lücke nicht
     mehr besitzt, sie also „stetig behoben“ ist. Der gekürzte Term heißt deshalb
     „stetige Fortsetzung“ der ungekürzten rationalen Funktion. Da die Definitions-
     menge der stetigen Fortsetzung  mit der Definitionsmenge  der ursprünglichen
     Funktion nicht mehr übereinstimmt, handelt es sich bei der stetigen Fortsetzung
     um eine neue Funktion, deren Symbol aus dem der ursprünglichen Funktion
     durch Hinzufügung einer Tilde (=Schlange) oder eines Sterns entlehnt wird (also
      oder ), um so die Verwandtschaft beider Funktionen zu dokumentieren.

    
                   Graf von f  bei x = 0                           Graf von   bei x = 0

     Ist die gemeinsame Nullstelle von Zähler und Nenner nicht  x = 0, so muss vor
     dem Kürzen der rationalen Funktion in der Regel noch eine Polynomdivision des
     Zählers und des Nenners durchgeführt werden, um sie in Faktoren zerlegen zu
     können.


e)  Nullstellen

     14. Wann hat ein Bruch den Wert null?   

     15. Bestiimmen Sie die Nullstellen der Funkionen  f bis f von a)!   

     Bearbeiten Sie nun vom Übungsblatt die Aufgaben 1,  3 a) und 4 a)!


f)   Asymptoten

     Unter der  „Asymptote“  eines Funktionsgrafen  versteht man  eine Gerade oder
     Kurve  (in diesem Fall auch  „asymptotische Kurve“  genannt),  an  die  sich  in
     einem  gewissen  Bereich  der  Funktionsgraf  beliebig nah anschmiegt,  sie aber
     nicht erreicht.

     16. Skizzieren Sie an Hand geeigneter Wertetabellen die Grafen der Funktionen
           f bis f von a), und geben Sie dann die Gleichungen aller Asymptoten an!
           

     Aus  dieser  Aufgabe  wird  sofort  klar,  dass  die  Polstellen  einer  rationalen
     Funktion direkt zu den Gleichungen der senkrechten Asymptoten führen.

     Im  Folgenden  wird  der  Grad  des Zähler-  bzw.  Nennerpolynoms  kurz  als
     „Zählergrad“ bzw. „Nennergrad“ bezeichnet.

     17. Welche nicht senkrechte Asymptote muss eine rationale Funktion haben,
           deren Zählergrad kleiner ist als ihr Nennergrad?  Begründung!   

     18. f: x 

     18.1 Führen Sie  die Polynomdivision  Zählerpolynom : Nennerpolynom  durch,
             und stellen Sie  den Divisionsrest  analog zum  schriftlichen Dividieren als
             „echt gebrochen-rationale Funktion“  (d. h.  Zählergrad  <  Nennergrad)
             in den Quotienten.   

     18.2 Überzeugen Sie sich durch Umwandlung des Quotienten von 18.1 in einen
             geschlossenen Bruch,  dass der Quotient nur eine andere Form  der Aus-
             gangsfunktion darstellt.   

     Sie sehen, dass die rationale Funktion f einen „ganz-rationalen Anteil“ (nämlich
     „ 1 “) und einen „echt gebrochen-rationalen Anteil“ (nämlich ) besitzt.

     18.3 Untersuchen Sie das Verhalten der zerlegten Form von  f  für x  ± ∞!
             

     Damit hat sich  der empirische Befund,  dass der Graf von  f  die waagrechte
     Asymptote  y = 1  besitzt, rechnerisch bestätigt.

     19. Ermitteln Sie  auf  dem  gleichen Wege  rechnerisch  die Gleichung  der nicht
           senkrechten Asymptote des Grafen von f!   

     Im Fall Zählergrad ≥ Nennergrad gilt also: 
     Der Funktionsterm für die nicht senkrechte Asymptote des Grafen einer rationalen
     Funktion ist gleich ihrem ganz-rationalen Anteil.

     20. Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Zählergrad, dem Nennergrad
           und dem Grad der nicht senkrechten Asymptote?   

     Bearbeiten Sie nun vom Übungsblatt die Aufgaben 2 a) und b) !


g)  Monotonie und Krümmung

     Zum Ableiten einer rationalen Funktion benötigt man die „Quotientenregel“.
     Um diese herzuleiten, sind einige Ableitungsregeln nötig:

     •  Produktregel:     (f(x) · g(x))' = f '(x) · g(x)  +  f(x) · g'(x)     Beweis 
                                   „Die Ableitung des Produktes zweier differenzierbarer
                                   Funktionen ist gleich der Summe der Produkte jeweils
                                   einer abgeleiteten und einer belassenen Funktion.“

     •  Kettenregel:       f(g(x))' = f '(g(x)) · g'(x)                          Beweis 
                                   „Die Ableitung einer verketteten Funktion ist gleich dem
                                   Produkt der abgeleiteten äußeren Funktion bei belassener
                                   innerer Funktion und der abgeleiteten inneren Funktion.“

     •  Ableitung von f(x) = :       f '(x) =                            Beweis

     21. Überzeugen  Sie  sich  am  Beispiel  f(x) = x  und  g(x) = x + 1  von  der
           Gültigkeit der Produktregel!   

     22. Zeigen Sie am Beispiel f(x) = (x – x) die Gültigkeit der Kettenregel auf!
           

     23. Zeigen Sie mit Hilfe der zwei letzten aufgeführten Regeln, dass die Ableitungs-
           regel , n  IN, auf n  \{0} ausgedehnt werden kann.
           Leiten Sie sodann die folgenden Funktionen ab:
           a)  f(x) =       b)  f(x) =       c)  f(x) =    

     24. Eine  rationale Funktion  kann in der Form    =    dargestellt
           werden.  Leiten  Sie  anhand  dieser  Darstellung  mit  Hilfe  der  aufgeführten
           Regeln  die  „Quotientenregel“  zur  Ableitung  einer  rationalen Funktion  her!
           

     •  Quotientenregel:  ()' =                    Beweis
                                    „Die  Ableitung  einer  rationalen  Funktion  ist  gleich  dem
                                    Quotienten aus  Nenner  mal  Ableitung des Zählers  minus
                                    Zähler mal Ableitung des Nenners und dem Nennerquadrat.“
                                    kurz:  

     25.1 An welchen Stellen  ändert sich  bei einer  Polynomfunktion  das Monotonie-
             verhalten?   
     25.2 An welchen Stellen ändert sich bei einer rationalen Funktion  das Monotonie-
             verhalten?   
     25.3 Geben Sie  die Gleichung  einer möglichst einfachen rationalen Funktion an,
             bei der sich das Monotonieverhalten ändert,  ohne dass eine Extremstelle
             vorliegt. Geben Sie auch an, in welchem Bereich die Funktion steigt bzw.
             fällt.   

     26.1 An welchen Stellen  ändert sich  bei einer Polynomfunktion das Krümmungs-
             verhalten?   
     26.2 An  welchen  Stellen  ändert  sich  bei  einer  rationalen  Funktion  das
             Krümmungsverhalten?   
     26.3 Geben Sie  die Gleichung  einer möglichst einfachen rationalen Funktion an,
             bei der sich das Krümmungsverhalten ändert,  ohne dass eine Wendestelle
             vorliegt.  Geben Sie auch an,  in welchem Bereich der Graf der Funktion
             links- bzw. rechtsgekrümmt ist.   

     Sie sehen also, dass Sie bei der Monotonie- bzw. Krümmungsuntersuchung einer
     rationalen Funktion  nicht nur  die Nullstellen  der ersten  bzw. zweiten  Ableitung,
     sondern auch die Definitionslücken auflisten müssen.

     27.1 Gegeben ist eine rationale Funktion, deren Nenner ein Quadrat darstellt.
             Zeigen Sie allgemein,  dass dann der Nenner der Ableitungsfunktion eine
             dritte Potenz darstellt.   
     27.2 Gegeben ist eine rationale Funktion, deren Nenner eine i-te Potenz darstellt
             (i  IN). Zeigen Sie allgemein, dass dann der Nenner der Ableitungsfunktion
             eine (i + 1)–te Potenz darstellt.   

     Wenn  der Nenner  der rationalen Funktion  ein Quadrat  oder eine höhere Potenz
     darstellt,  ist also,  wie Sie sehen,  der Term der Ableitungsfunktion stets kürzbar.
     Denken Sie  immer  an  diese  Kürzmöglichkeit,  denn  sonst  bläht  sich  der  Ab-
     leitungsterm unnötig auf, und die Nullstellenbestimmung wird viel schwieriger.

     Im  Übrigen werden Monotonie und Krümmung bei rationalen Funktionen genau
     so untersucht  wie bei Polynomfunktionen.  Bei der tabellarischen Untersuchung
     sollten vor der Vorzeichenbilanz der entsprechenden  Ableitungsfunktion die Vor-
     zeichen ihres Zählers und Nenners aufgelistet werden.

     28. Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktionen  f bis f von a),
           und geben Sie gegebenenfalls auch die Art und die Koordinaten der Extrem-
           punkte an!   

     29. Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten der Funktionen  f bis f von a,
           und geben Sie gegebenenfalls auch die Koordinaten der Wendepunkte an!
           

     Bearbeiten Sie nun vom Übungsblatt die Aufgaben 2 c) und d), 3 a)–d), 4 a)–d),
     5 a)–d) sowie 6 a)–c) !


h)  Integration

     30. Sie haben gesehen, dass die Ableitungsregel für n  \{0}
           gilt. Wie lautet dann die umgekehrte Regel für die Integration von  xn und in 
           welchem Zahlenbereich für n ist sie gültig?   

     31. Geben Sie jeweils die Menge aller Stammfunktionen an:
           a)  f(x) =       b)  f(x) =       c)  f(x) =    

     32. Gegeben ist die Funktion  f: x   mit  ID = IR \ {0}.
     32.1 Berechnen Sie die Maßzahl der Fläche, die der Graf von f mit der x-Achse
             und den Geraden  x = 1  und  x = 2  einschließt.  Fertigen Sie eine Skizze
             und kennzeichnen Sie die berechnete Fläche!   
     32.2 Berechnen Sie die Maßzahl der Fläche, die der Graf von f mit der x-Achse
             und den Geraden  x = 1  und  x = c  (c > 1)  einschließt.   
     32.3 Gegen welchen Wert strebt die Flächenmaßzahl von 32.2 für  c  ∞ ?
             Deuten Sie diesen Grenzwert geometrisch und veranschaulichen Sie Ihre
             Deutung grafisch!   

     Der Grenzwert von  für  c  ∞  wird auch als  dargestellt und als
     „uneigentliches Integral“ von  f  bezeichnet,  da nicht beide Integrationsgrenzen
     endlich sind.

     Bearbeiten Sie nun vom Übungsblatt die Aufgaben 3 e),  4 e)–g),  5 e) und f)
     sowie 6 d)–f) !

     Bearbeiten Sie nun die restlichen Aufgaben 7 bis 11 des Übungsblattes!