1.   Gegeben sind die Funktionen
      f :   x ,              f :   x ,
      f :   x ,    f :   x 
      mit jeweils maximaler reeller Definitionsmenge.

      a)   Bestimmen Sie jeweils die Definitionslücken und die Nullstellen.

      b)   Welches Verhalten zeigt die jeweilige Funktion in der Umgebung ihrer
            Definitionslücken?



2.   Gegeben sind die Funktionen
      f :   x   und  f :   x  mit jeweils max. Definitionsmenge
      sowie  f,  f  und  f aus Aufgabe 1.

      a)   Bestimmen Sie jeweils die Gleichungen der Asymptoten.

      b)   Wo verläuft der Graf der jeweiligen Funktion oberhalb, wo unterhalb
            seiner nichtsenkrechten Asymptote?

      c)   Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der jeweiligen Funktionen, und
            geben Sie ggf. die Art und die Koordinaten der Extrempunkte an.

      d)   Fertigen Sie Skizzen der jeweiligen Grafen.



3.   Gegeben ist die Funktion  f :  x    mit ID = IR \ {0}.

      a)   Bestimmen Sie das Symmetrieverhalten und die Nullstellen von f und
            untersuchen Sie das Verhalten von f(x) an der Definitionslücke.

      b)   Untersuchen Sie das Verhalten von f(x) für x  ±∞ und geben Sie die
            Gleichung der asymptotischen Kurve an.

      c)   Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von G .
            Zeigen Sie, dass G keine Wendepunkte besitzt.

      d)   Zeichnen Sie G im Intervall  –3 ≤ x ≤ 3. (1 LE = 2 cm)

      e)   Berechnen Sie  .



4.   Gegeben ist die Funktion  f :  x   mit ID = IR \ {0}.

      a)   Bestimmen Sie das Symmetrieverhalten von G und das Verhalten von f(x)
            an der Definitionslücke. Zeigen Sie, dass  f  keine Nullstelle besitzt und sein
            Graf nur im 3. und 4. Quadranten verläuft.

      b)   Untersuchen Sie das Verhalten von f(x) für x  ±∞  und geben Sie die
            Gleichung der asymptotischen Kurve an.

      c)   Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von G .
            Zeigen Sie, dass G keine Wendepunkte besitzt.

      d)   Zeichnen Sie G im Intervall  –2 ≤ x ≤ 2. (1 LE = 2 cm)

      e)   Geben Sie die Menge aller Stammfunktionen von f an.
            Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion F von f, für die gilt: F(1) = 2.

      f)   Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von G und der Geraden mit der
            Gleichung  y = –2,5  im 4. Quadranten eingeschlossen wird.

      g)   Der Graf von f schließt für x ≥ 1 mit der Parabel y = –x  und der Geraden
            x = 1  eine Fläche ein, die sich ins Unendliche erstreckt. Bestimmen Sie
            deren Inhalt. 
		


5.   Gegeben ist die Funktion  f :  x   mit ID = IR .

      a)   Bestimmen Sie das Symmetrieverhalten von G und das Verhalten von f(x)
            für x  ±∞. Zeigen Sie, dass G nur im 1. und 3. Quadranten verläuft.
            Fertigen Sie aufgrund dieser Erkenntnisse eine Grobskizze von G  .
            Wieviele Wendepunkte wird G besitzen?

      b)   Bestimmen Sie nun Art und Lage der Extrem- und Wendepunkte von G .

      c)   Stellen Sie die Gleichungen der drei Wendetangenten auf.

      d)   Zeichnen Sie G im Intervall  –3 ≤ x ≤ 3. (1 LE = 2 cm)

      e)   Zeigen Sie, dass die Funktion  F :  x   mit ID = IR  eine Stamm-
            funktion von f ist.

      f)   Berechnen Sie den Inhalt der Gesamtfläche, die von G und seiner
            Asymptoten eingeschlossen wird.



6.   Gegeben ist die Funktion  f :  x   mit ID = IR \ {1}.

      a)   Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f  und die Asymptoten ihres
            Grafen.

      b)   Geben Sie die Bereiche an, in denen G steigt bzw. fällt.

      c)   Zeichnen Sie G im Intervall  –2 ≤ x ≤ 4.

      d)   Zeigen Sie, dass die Funktion  F :  x   mit ID = ID  eine Stamm-
            funktion von f ist.

      e)   Ermitteln Sie die Extrempunkte und Asymptoten von GF.

      f)    Von G und den drei Geraden  x = 2,  x = 4  und  y = –1 wird eine Fläche
            eingeschlossen. Berechnen Sie deren Inhalt.



7.   Gegeben sind die Funktionen
      f :   x  x – 3x – 2 ,    g :  x (x – 3x – 2)   und
      h :  x    .

      a)   Diskutieren Sie die Funktionen f und g und fertigen Sie eine Skizze an.

      b)   Zeigen Sie, dass die Funktion h an der Stelle  x = –1  stetig und sogar
            differenzierbar ist.

      c)   Kennzeichnen Sie in der Skizze den Grafen von h mit anderer Farbe.

      d)   Die Geraden  y = 1,  x = 0  und  x = k  mit  k > 2  begrenzen mit dem
            Grafen von h ein Flächenstück A(k). Berechnen Sie dessen Inhalt.
            Bestimmen Sie den Grenzwert von A(k) für  k  ∞.



8.   Gesucht ist eine rationale Funktion  f  mit möglichst niedrigem Zähler- und
      Nennergrad (Nennergrad > 0), die folgende Eigenschaften besitzt:

      a)   Ihr Graf ist punktsymmetrisch zum Ursprung und besitzt die Winkel-
            halbierende des 1. und 3. Quadranten als Asymptote.

      b)   Ihr Graf ist achsensymmetrisch zur y-Achse, besitzt die Gerade  y = 1
            als Asymptote und hat den Hochpunkt (0|–1).

      c)   Ihr Graf hat keine senkrechte Asymptote und berührt die Parabel  y = 4 – x
            bei  x = 2.

      d)   Ihr Graf besitzt die Asymptoten  x = 0  und  y = x + 1  und schneidet seine
            schiefe Asymptote bei  x = 1.

      e)   Ihr Graf ist im Punkt (2|0) unterbrochen, und bei  x = –1  streben
            ihre Funktionswerte beidseitig nach +∞.

      f)   Ihr Graf besitzt die asymptotische Kurve  y = x – 1  und den Tiefpunkt
            TIP(1|2).



9.   Abschlussprüfung an Berufsoberschulen 2001
      Auszug aus der Aufgabengruppe A I mit leichten formalen Änderungen:

      Gegeben sind die Funktion
      f : x  f(x) = 
      sowie die Funktionenschar  f:  x  f(x) =   mit m  IR \ {0}
      und jeweils maximaler reeller Definitionsmenge.

      a)   Untersuchen Sie den Grafen der Funktion f auf Symmetrie bzgl.
            des Koordinatensystems.

      b)   Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f an ihren Definitionslücken.

      c)   Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten des Grafen von f an.

      d)   Bestimmen Sie ohne Verwendung der zweiten Ableitung die exakten
            Koordinaten und die Art der Extrempunkte des Grafen von f.

      e)   In der folgenden Grafik sind die Winkelhalbierende des I. Quadranten
            sowie der Graf von  f  für  0 ≤ x ≤ 10  eingetragen. 

            Ermitteln Sie aus der Grafik einen ganzzahligen Näherungswert für
            das Integral .
            Erläutern Sie Ihre Überlegungen mit Hilfe der eingezeichneten Quadrate,
            die mit Buchstabenkombinationen bezeichnet  werden.

      f)   Untersuchen Sie, welchen Einfluss der Parameter  m  auf den Verlauf des
            Grafen von  f im Vergleich zum Grafen von  f  hat.
            Gehen Sie dabei auf die Fälle  m > 0,  m < 0,  |m| < 1  und  |m| > 1  ein.
            Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten sowie die Koordinaten und Art
            der Extrempunkte des Grafen von  f an.



10.  Gegeben ist die rationale Funktionenschar  h:  x ,  k  IR\{0},
       mit folgenden Bedingungen:
       1)   Der Graf von  h besitzt eine waagrechte Asymptote.
       2)   f ist eine ganz-rationale Funktion 3. Grades, deren Graf bei  x = 0
             die Wendetangente  y = –3k²x + 2k³ besitzt.
       3)   g ist eine ganz-rationale Funktion, deren Graf punktsymmetrisch bzgl. des
             Koordinatenursprungs ist und bei  x = k  die Steigung –k³ besitzt.
       4)   h besitzt die hebbare Definitionslücke  x = –2k.

       a)   Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion  h.
             (Zur Orientierung:  f(x) = x³ – 3k²x + 2k³;   g(x) = kx³ – 4k³x)

       b)   Geben Sie den maximalen Definitionsbereich der Funktion  h an und
             untersuchen Sie ihr Verhalten in der Umgebung ihrer Definitionslücken.

       c)   Bestimmen Sie die Nullstellen sowie die Gleichungen aller Asymptoten
             des Grafen von h.

       d)   Ermitteln Sie ohne Verwendung der zweiten Ableitung die Art und die
             Koordinaten eventueller Extrempunkte des Grafen von h.

       e)   Skizzieren Sie den Grafen von  h im Bereich  –3 ≤ x ≤ 5. (1 LE = 2 cm)

       f)   Schließen Sie ohne weitere Rechnung aus den bisherigen Ergebnissen auf die
            Anzahl der Wendepunkte des Grafen von  h sowie auf sein Krümmungs-
            verhalten in Abhängigkeit von k.



11.  Eine leere  zylindrische  Getränkedose  hat die Höhe  H, die 
       Grundfläche A und die Masse M.  Ihre Wandstärke soll ver–
       nachlässigt werden.  Diese Dose soll bis zur Höhe  h  mit
       Wasser gefüllt werden und besitzt dann einen Schwerpunkt
       s(h),  der auf der Strecke zwischen den Schwerpunkten sD
       der leeren Dose und sW der Wassersäule liegt.

       a)  Drücken Sie die Schwerpunkte sD und sW durch
            die gegebenen Höhen aus.

       b)  Der Gesamtschwerpunkt  s(h)  lässt sich analog zum Erwartungswert  einer
            Zufallsgröße aus den Schwerpunkten sD und sW bestimmen, indem diese
            mit den Verhältnissen der Masse der leeren Dose bzw der Masse der Wasser-
            säule zur Gesamtmasse der  teilweise gefüllten Dose multipliziert  und dann
            die derart „gewichteten“ Schwerpunkte addiert werden. 
            Drücken Sie nach diesen Hinweisen s(h) durch die Variable h sowie durch
            die Konstanten H, A und M aus. Beachten Sie dabei, dass die Dichte des
            Wassers  1  beträgt.

       c)  Die teilweise gefüllte Dose steht am stabilsten, wenn ihr Gesamtschwerpunkt
            s(h)  möglichst niedrig ist. 
            Wie hoch muss der Wasserspiegel stehen, damit die Dose am stabilsten steht?

       d)  Messen Sie alle erforderlichen Größen an einer von Ihnen gewählten leeren
            Getränkedose, und berechnen Sie dann den für den stabilsten Stand dieser 
            Dose nötigen Wasserspiegel.