1.0    

Gegeben ist die Funktion  g: x    mit der Definitionsmenge D(g) = IR\{0}.  Ihr Graph sei G(g).

Untersuchen Sie G(g) auf Symmetrie und berechnen Sie die Nullstellen von g.   (4 BE)

Geben Sie die Art der Definitionslücke  x = 0  an und begründen Sie Ihre Angabe.   (4 BE)

Bestimmen Sie Art und Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von g.
(Zur Kontrolle:  g '(x) = ln(x²) )   (6 BE)

1.4

Zeichnen Sie den Graphen von g für –3 ≤ x ≤ 3 unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse in ein kartesisches Koordinatensystem. (1 LE = 1 cm)   (5 BE)

1.5

Ermitteln Sie die reellen Werte von a und b, für welche die Funktion    mit  = ]0 ; +∞[  eine Stammfunktion der Funktion g  ist.
(Ergebnis: a = 1 ; b = –1,5 )   (4 BE)

1.6

Die x-Achse, die Gerade mit der Gleichung  x = 1  und der Graph von g begrenzen für  x ≥ 1  im vierten Quadranten ein Flächenstück. Berechnen Sie dessen Flächenmaßzahl A.   (5 BE)

2.0

Gegeben ist die Schar reeller Funktionen    mit maximaler Definitionsmenge  IR  sowie  k .  Der Graph von   heißt  .

2.1

Bestimmen Sie    und zeigen Sie, dass der Graph    symmetrisch zur y-Achse verläuft.   (3 BE)

2.2

Untersuchen Sie das Verhalten von  (x)  in der Umgebung der Definitionslücken und geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von    an.   (5 BE)

2.3

Ermitteln Sie das Intervall  I  der x-Werte, in dem der Graph    oberhalb der x-Achse verläuft.   (4 BE)

2.4

Geben Sie die maximalen Monotonieintervalle von     an und bestimmen Sie damit die Art und die Koordinaten des Extrempunktes des Graphen    in Abhängigkeit von k.
(Zur Kontrolle:  )   (7 BE)

2.5

In der nebenstehenden Zeichnung sind die Graphen    für einige ganzzahlige Werte von  k  teilweise dargestellt. Bestimmen Sie aufgrund der bisherigen Ergebnisse, für welche Werte von  k  die Graphen dargestellt sind.   (4 BE)

3.0

Ein zylindrisches Gefäß ist mit Schaum gefüllt. Ist  h(t)  die Schaumhöhe zu einem Zeitpunkt t (t ≥ 0), so gilt für den Zerfall des Schaums folgendes Gesetz :  h(t) = h₀e^–ct, wobei h₀ die Schaumhöhe zu Beginn und c eine für den Schaum charakteristische konstante Größe ist. Bei der Rechnung kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden.

3.1

Zum Zeitpunkt  t₁ = 2,0 min  beträgt die Schaumhöhe 8,0 cm, zum Zeitpunkt t₂ = 7,0 min  beträgt die Schaumhöhe 3,0 cm.  Ermitteln Sie die Werte der Konstanten h₀ und c.
(Ergebnis:  h ≈ 12 cm ;  c ≈ 0,20 )   (6 BE)

3.2

Berechnen Sie den Zeitpunkt  t₃ , zu dem sich die Schaumhöhe halbiert hat.   (3 BE)

1.0     

Gegeben ist die Funktion    mit der Definitionsmenge D(f) = IR.

1.1

Geben Sie die Nullstelle von  f  an. Untersuchen Sie das Verhalten von  f(x)  für  x ±∞  und geben Sie die Gleichung der Asymptote von  G(f)  an.   (6 BE)

1.2

Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle von  f  sowie die Art und die Koordinaten des lokalen Extrempunktes von  G(f)  und geben Sie die Wertemenge  W(f)  von  f  an.
(Teilergebnis:  )   (8 BE)

1.3

Zeichnen Sie  G(f)  unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse für –8 ≤ x ≤ 1,5  in ein kartesisches Koordinatensystem.   (5 BE)

1.4.0

Gegeben ist nun die Funktion    mit  D(F) = IR  und a, b IR.

1.4.1

Berechnen Sie die Koeffizienten  a  und  b  so, dass  F  eine Stammfunktion von  f  ist.
(Ergebnis:  a = –8;  b = –3 )   (4 BE)

1.4.2

Der Graph  G(f),  die  x-Achse  und die Gerade mit der Gleichung  x = k  mit  k < 0  begrenzen eine Fläche  A.  Berechnen Sie die Maßzahl  A  in Abhängigkeit von  k.  Untersuchen Sie, ob    existiert und geben Sie gegebenenfalls den Wert an.   (7 BE)

2.0

In der nebenstehenden Zeichnung ist der Graph einer gebrochen-rationalen Funktion    mit D(g) = IR \ {–2; 2}  abgebildet. Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Alle weiteren Eigenschaften können der Zeichnung entnommen werden.

2.1

Bestimmen Sie einen Funktionsterm g(x), wenn Zähler und Nenner jeweils Polynome zweiten Grades sind.   (6 BE)

2.2

Stellen Sie fest, ob Zähler und Nenner von  g(x)  auch jeweils Polynome der Form  ax³ + bx  (a IR\{0}, b IR)  sein können, und begründen Sie Ihre Aussage.   (4 BE)

3.0

Ein Opa möchte seinen Enkel finanziell absichern. Er bietet dem Enkel zwei Alternativen an: Entweder gibt er ihm jeden Monat  50   in bar oder er legt bei einer Bank  2000   an, die zu  7,25 %  jährlich verzinst werden.

3.1

Für die Bankalternative gilt für das Kapital nach  t  Jahren  (t ≥ 0)  die Zinsformel  K(t) = K₀ (1 + 0,0725)^t.  Zeigen Sie unter Verwendung der Formel  a = e^ln a,  dass sich näherungsweise die Beziehung K(t) = 2000·e^{0,07 t}  ergibt.   (3 BE)

3.2

Stellen Sie eine Funktionsgleichung für die Funktion  G  auf, die den Geldbetrag beschreibt, der sich nach Opas anderer Alternative nach  t  Jahren ansammelt.   (2 BE)

3.3

Zeichnen Sie die Graphen der beiden Funktionen  K  und  G  für  0 ≤ t ≤ 20  in ein Koordinatensystem.
(Maßstab:  x-Achse: 1 cm 4 Jahre;  y-Achse: 1 cm 2000 )   (5 BE)

3.4

Geben Sie die Anzahl der Zeitpunkte an, zu denen bei beiden Alternativen das gleiche Kapital angesammelt ist, und erläutern Sie Ihre Aussage. Ermitteln Sie jeweils ein Zeitintervall der Länge 1 Jahr, in dem diese Zeitpunkte liegen. Verwenden Sie zur Lösung eine geeignete Wertetabelle.   (7 BE)

3.5

Beurteilen Sie vergleichend die beiden Anlagearten.   (3 BE)