BOS Abschlussprüfung 2007: Analysis

Abschlussprüfung zur Erlangung der fachgebundenen Hochschulreife
Frühjahr 2007

Aufgabengruppe A: A I A II

A I



1.1   Geben Sie D_f, die Lage und Vielfachheiten der Nullstellen sowie Art und Lage der Definitionslücken der Funktion f an
         und untersuchen Sie das Verhalten von f(x) bei Annäherung an die Definitionslücken.          ( 7 BE )

1.2.0 Im Folgenden betrachten wir die stetige Fortsetzung der Funktion f
         

1.2.1 Bestimmen Sie die Gleichungen aller Asymptoten von   .          ( 3 BE )

1.2.2 Ermitteln Sie die Art und die Koordinaten aller Extrempunkte von   .
                                  ( 7 BE )

1.2.3 Zeichnen Sie   und seine Asymptoten mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse und der Berechnung
         weiterer geeigneter Funktionswerte im Intervall  [ -2 ; 6 ]  in ein Koordinatensystem.  ( LE : 1 cm )        ( 5 BE )

1.2.4 Die Funktion F mit dem Graphen G_F ist eine Stammfunktion der Funktion  .
         Geben Sie nur aufgrund bisheriger Ergebnisse das Monotonieverhalten von G_F und die Abszissen seiner Wendepunkte
         an.   ( 5 BE )

1.2.5 Der Graph   und die Geraden mit den Gleichungen  y = x , x = 3 und x = b mit dem
         rellen Parameter  b > 3  begrenzen ein Flächenstück A. 
         Kennzeichnen Sie diese Fläche für b = 6 im Koordinatensystem von Aufgabe 1.2.3 und 
         berechnen Sie deren Flächenmaßzahl A( b) in Abhängigkeit von b.         ( 5 BE )

1.2.6 Untersuchen Sie, ob  existiert.       ( 2 BE )

2.0 Bei Patienten, die zur Nahrungsaufnahme nicht fähig sind, wird die künstliche Ernährung durch Infusion von Glucose in
      die Blutbahn durchgeführt. U( t ) bezeichnet den Glucosegehalt im Blut eines Patienten ( in mg/dl ) zum Zeitpunkt  t ( in
      Stunden ) der Behandlung mit  Dem Patieneten wird Glucose mit einer konstanten Rate pro
      Stunde zugeführt. Der Abbau der Glucose erfolgt proportional zu dem vorhandenen Glucosegehalt mit der Konstanten
      . Mit diesen Annahmen gilt ( ohne Berücksichtigung der Einheiten ) : 
      Bei der Rechnung kann auf Einheiten verzichtet werden. Die Ergebnisse sind auf zwei Nachkommastellen zu runden.

2.1 Bei einem Patienten, bei dem der Glucosegehalt im Blut am Anfang der Behandlung u₀ = 60 [ mg/dl ] beträgt, 
      wird nach 3 Stunden ein Glucosegehalt im Blut von U( 3 ) = 90 [ mg/dl ] festgestellt. 
      Bestimmen Sie für diesen Fall den Wert der Konstanten .        ( 3 BE )

2.2 Setzen Sie nun  und berechnen Sie den Glucosegehalt im Blut des Patienten nach 5 Stunden.     ( 2 BE )

2.3 Bestimmen Sie den Grenzwert der Funktion U für  und interpretieren Sie diesen im Sinne der vorliegenden
      Thematik.     ( 3 BE )

3.0 Zur Versorgung der Raumstation ISS wird von Cap Canaveral eine Rakete gestartet.
      Die Momentangeschwindigkeit der Rakete lässt sich, bis der gesamte Treibstoff verbrannt ist, näherungsweise mit der
      Funktion          beschreiben. 
      Dabei ist t die Zeit, t_E die Brenndauer jeweils in Sekunden und v( t ) die Geschwindigkeit in Kilometer pro Sekunde.
      Bei den Berechnungen kann auf die Einheiten verzichtet werden, 
      die Ergebnisse sind gegebenenfalls auf zwei Nachkommastellen zu runden.

3.1 Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Rakete zwei Sekunden nach dem Start 
      und den Zeitpunkt  t₁ , zu dem die Geschwindigkeit  beträgt.       ( 5 BE )

3.2 Nach dem Start wird die Masse m der Rakete ( in Tonnen ) durch die Verbrennung des Treibstoffs kleiner. 
      Es gilt : . Beim Start bestehen 85% der Gesamtmasse aus Treibstoff. 
      Berechnen Sie den Zeitpunkt  t_E , zu dem der gesamte Treibstoff verbrannt ist.      ( 2 BE )

3.3 Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von v und ermitteln Sie die maximale Geschwindigkeit der Rakete.         ( 5 BE )

3.4 Zeigen Sie, dass  eine Stammfunktion von v ist,
      berechnen Sie  s ( t_E) - s ( 0 )  und interpretieren Sie diesen Wert im Sinne der Thematik.       ( 6 BE )

A II

1.0	Gegeben ist die Funktion in der größtmöglichen Definitionsmenge . Ihr Graph wird mit bezeichnet.

1.1	Geben Sie an und bestimmen Sie die Nullstelle von f. (2 BE)

1.2	Ermitteln Sie das Monotonieverhalten von und daraus die Art und die Koordinaten seines Extrempunktes. (Zur Kontrolle: (6 BE)

1.3	Bestimmen Sie das Verhalten von f(x) und der Ableitungsfunktion f '(x) für . (5 BE)

1.4	Untersuchen Sie, ob einen Wendepunkt besitzt. Begründen Sie Ihre Aussage nur unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse ohne Berechnung der 2. Ableitung und geben Sie gegebenenfalls das Intervall an, in dem die Wendestelle liegt. (4 BE)

1.5	Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse für 0 < x ≤ 1,5 in ein kartesisches Koordinatensystem. Beachten Sie dabei insbesondere das Verhalten von für . (Maßstab: 1LE = 5cm) (4 BE)


2.0	Gegeben ist die Funktion mit ihrer größtmöglichen Definitionsmenge . Ihr Graph heißt .

2.1	Geben Sie sowie die Lage und die Art der Definitionslücke von g an und bestimmen Sie das Verhalten von g(x) bei Annäherung an die Definitionslücke. Weisen Sie nach, dass eine Nullstelle der Funktion g ist, und berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes von mit der y-Achse. (Hinweis: g hat als einzige Nullstelle (6 BE)

2.2	Geben Sie die Gleichungen und die Art aller Asymptoten von an und untersuchen Sie jeweils, ob sich der Graph der schiefen Asymptote für von oben oder von unten annähert. (4 BE)

2.3	Zeichnen Sie die Asymptoten in ein kartesisches Koordinatensystem und skizzieren Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Erkenntnisse in die Zeichnung. (5 BE)

2.4	Berechnen Sie das Integral und erläutern Sie dessen geometrische Bedeutung. (5 BE)



3.0	In einem Bach steigt nach einem Wolkenbruch die Wasserdurchflussmenge deutlich an. An einer Messstelle wird die Wasserdurchflussmenge D(t) (in ) in Abhängigkeit von der Zeit t (in h) beobachtet. Frühere Messungen ergaben, das für die Wasserdurchflussmenge für t ≥ 0 annähernd die Beziehung gilt, wobei c eine positive niederschlagsabhängige Konstante ist. Im Funktionsterm und bei den Berechnungen wird auf die Angabe von Einheiten verzichtet. Die Ergebnisse sind auf zwei Nachkommastellen zu runden.

3.1	Nach 30 min beträgt die Durchflussmenge 25,6. Ermitteln Sie damit den Wert der Konstanten c. (Ergebnis: c ≈ 0,25) (3 BE)

3.2	Ermitteln Sie den Zeitpunkt dem die Durchflussmenge wieder abnimmt. (5 BE)

3.3	Ab einer Durchflussmenge von 42 ufert der Bach aus. Stellen Sie fest, ob eine Ausuferung stattfindet. (2 BE)

3.4	Bestimmen Sie den Wert von D(t), der sich auf Grund der angegebenen Beziehung langfristig einstellt. (3 BE)

3.5	Gegeben ist die Funktion V mit für t ≥ 0. Zeigen Sie, dass V eine Stammfunktion von D ist. Berechnen Sie das Integral und interpretieren Sie das Ergebnis im Sinne der vorliegenden Thematik. (6 BE)