1.0  

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem  A  mit  A = und  sowie  k IR.

Untersuchen Sie durch eine Rangbetrachtung, für welche  k IR  das Gleichungssystem keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen besitzt, und geben Sie für  k = 8  die Lösungsmenge an.   (10 BE)

Interpretieren Sie die Spalten der Matrix A als Vektoren des IR³. Welche Aussage ergibt sich aus Aufgabe 1.1 über die lineare Unabhängigkeit dieser Vektoren ?   (3 BE)

Nun wird die Matrix B = betrachtet.

Ermitteln Sie die Menge aller (2,2)-Matrizen D, für die gilt:  B · D = D · B. Geben Sie sodann ein Beispiel für eine Matrix C an, für die die Matrizenmultiplikation  B · C  nicht kommutativ ist.   (7 BE)

2.2

Bestimmen Sie die reellen Zahlen  α  und  β, für die gilt:  B³  =  α·B + β·B². Hierbei ist  B² = B·B.   (4 BE)

2.3

Nun sei  n  eine beliebige natürliche Zahl. Folgern Sie aus dem Vergleich von B² und B³ eine Beziehung für die Matrix Bⁿ. Überprüfen Sie Ihre Vermutung durch Berechnen von  B^{n + 1} = B·Bⁿ.   (3 BE)

In einem kartesischen Koordinatensystem des  IR³ sind die Punkte Q (0 | – 1 | 4)  und R (0 | 5 | –8)  gegeben.

3.1

Begründen Sie, welche besondere Lage die Gerade  QR  im Koordinatensystem besitzt, und berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes von  QR  mit der -Ebene.   (4 BE)

3.2

Untersuchen Sie, ob es eine Ebene E  gibt, die die Gerade  QR  und die Gerade mit der Gleichung  mit  r IR  enthält, und stellen Sie ggf. eine parameterfreie Gleichung von  E  auf.   (6 BE)

Ein Objekt bewegt sich ohne Richtungswechsel mit konstanter Geschwindigkeit auf der Geraden QR. Es startet in Q und erreicht 10 Sekunden später R. Berechnen Sie, in welchem Punkt es sich 45 Sekunden nach dem Start befindet.   (3 BE)

In einem kartesischen Koordinatensystem sind der Punkt A (3 – m | m – 1 | m – 2)  in Abhängigkeit von m IR  sowie die Gerade mit  r IR  gegeben.

1.1

Untersuchen Sie, für welche  m IR  durch die Gerade  g  und den Punkt  A_m  eine Ebene  E  festgelegt ist.   (3 BE)

1.2

Stellen Sie für  m = 3  je eine Gleichung der Ebene  E  in Parameterform und parameterfreier Darstellung auf.   (5 BE)
(Mögliches Ergebnis: 2x₁ – x₂ + 3x₃ – 1 = 0)

1.3

Nun sind die Punkte  P(3 | 4 | – 2)  und  Q_a(1 – 2a | a – 2 | a + 2)  mit a IR gegeben. Bestimmen Sie  a  so, dass die Ebene  E  die Strecke  [PQ_a]  halbiert.   (5 BE)

2.0

Gegeben sind die Matrix und der Vektor mit b IR.

2.1

Bestimmen Sie  k  und  b  so, dass die Gleichung mit  k IR erfüllt ist.   (4 BE)

2.2

Untersuchen Sie anhand einer Rangbetrachtung, für welche Zahlen  b  das Gleichungssystem    genau eine bzw. keine Lösung besitzt.   (5 BE)

3.0

Die drei Abteilungen F, G und H eines Unternehmens sind nach dem Leontief-Modell miteinander verbunden (Angaben in Mengeneinheiten ME):

	F	G	H	Markt
F	20	3	2	15
G	8	9	6	7
H	4	3	0	3

 

Bestimmen Sie die Inputmatrix A.   (3 BE)

3.2

Es wird eine Produktionserhöhung in Abteilung F um 20 und in Abteilung G um 30 Einheiten bei gleichbleibender Produktion in H vorgeschlagen. Beurteilen Sie anhand des neuen Marktvektors, ob dies möglich ist.   (3 BE)

3.3

Berechnen Sie zum Marktvektor den Produktionsvektor.   (4 BE)

Nun soll Abteilung F die Produktion auf 60 ME erhöhen und die Abteilungen F und G sollen jeweils mindestens 20 ME an den Markt abgeben. Stellen Sie die drei sich ergebenden Bedingungen in einem -Koordinatensystem () dar, und kennzeichnen Sie den Bereich für die zugehörigen Produktionszahlen in den Abteilungen G und H.   (8 BE)