1.0    

Gegeben sind im IR die Vektoren    mit  a IR  sowie die Punkte  P(0 | 4 | 1)  und  Q(5 | 6 | 7).

1.1

Berechnen Sie den Wert von a, für den die Geraden    und    mit r, s IR genau einen Schnittpunkt haben. Stellen Sie für  a = –2  eine Gleichung der Ebene  E  in parameterfreier Form auf, welche h_–2 und g enthält.
(Mögliche Lösung:    E:  2x₁ – 2x₂ – x₃ + 9 = 0 )   (7 BE)

1.2

Ermitteln Sie eine Gleichung der Schnittgeraden  k  der Ebene  E  und der x₂x₃-Koordinatenebene.   (4 BE)

1.3

Der Punkt  R (r₁ | r₂ | 4)  mit  r₁, r₂ IR  liegt auf der Geraden  PQ.  Ermitteln Sie die Werte  r₁  und  r₂  sowie das Teilverhältnis  λ  von  R  bezüglich der Strecke  [PQ].   (4 BE)

2.0

Die drei Zweigwerke U, V, W eines Betriebes sind nach dem Leontief-Modell untereinander und mit dem Markt verflochten. Die derzeitige Produktion beträgt im Werk U 800 ME, im Werk V 450 ME und im Werk W 300 ME. Die Verflechtung ist der nebenstehenden Tabelle zu entnehmen.

2.1

Ermitteln Sie die Werte  a,  b  und  c  und die Inputmatrix  A.   (4 BE)

2.2

Die Abgabe von U an den Markt soll sich auf 62 ME erhöhen, ohne dass sich die Abgaben von V und W an den Markt ändern. Ermitteln Sie die dazu benötigten Produktionsmengen der einzelnen Zweigwerke.   (5 BE)

2.3

Nun wird festgestellt, dass die Produktionsmengen in V und W doch nicht erhöht werden können, sondern lediglich die Produktion in U ausgeweitet werden kann. Es wird für jede produzierte und an den Markt abgegebene Mengeneinheit  1 GE (Geldeinheit) erzielt. Ermitteln Sie die maximal mögliche Gesamteinnahme, die durch die Ausweitung der Produktion in U erreicht werden kann.   (6 BE)

3.0

Gegeben sind die Matrizen
  und    mit  d IR.

3.1

Bestimmen Sie den Wert von  d,  für den die Matrix  D  als Linearkombination von  A,  B  und  C  dargestellt werden kann.
(Ergebnis:  d = 4 )   (6 BE)

3.2

Untersuchen Sie unter Verwendung von Aufgabe 3.1, ob die Matrizen  A,  B,  C  und  E  linear abhängig sind.   (4 BE)

1.0    

Im  IR  sind die Geraden  g: und  h: mit  k, m, a IR  sowie der Punkt  P (–5 | 1 | 2)  gegeben.

1.1

Untersuchen Sie, ob der Punkt  P  auf der Geraden  g  liegt.   (2 BE)

1.2

Die Ebene  E₁  enthält die Gerade  g  und den Punkt  P. Bestimmen Sie jeweils eine Gleichung der Ebene  E₁  in Parameterform und in parameterfreier Form.
(Mögliches Ergebnis für E₁:   2x₁ + 3x₃ + 4 = 0 )   (5 BE)

1.3

Die Koordinatenebenen zerlegen den IR³ in acht Oktanten. Die Koordinaten sämtlicher Punkte eines dieser Oktanten besitzen nur positive Vorzeichen. Untersuchen Sie, ob die Ebene  E₁  diesen Oktanten durchläuft und beschreiben Sie die besondere Lage der Ebene  E₁  im Koordinatensystem.   (3 BE)

1.4

Untersuchen Sie die Lage der Geraden  h_a  zur Ebene  E₁  in Abhängigkeit von  a.   (5 BE)

1.5

Die Geraden  h_a  liegen für alle  a  in der Ebene  E₂ . Geben Sie eine Gleichung der Ebene  E₂  in Parameterform an.   (3 BE)

1.6

Erläutern Sie auf der Grundlage der bisherigen Ergebnisse, wie die Gerade  g  zu allen Geraden  h_a  mit  a  IR \ {2}  verläuft.   (2 BE)

2.0

In einem Industrieunternehmen sind die drei Produktionsbereiche U, V, W nach dem Leontiefmodell untereinander und mit dem Markt verflochten. Gegeben sind die Inputmatrix  A =   und der Marktvektor   .

2.1

Berechnen Sie den Produktionsvektor    und erstellen Sie die Input-Output-Tabelle.
(Zur Kontrolle:  x₁ = 30,  x₂ = 20,  x₃ = 40 )   (6 BE)

2.2

Im nächsten Produktionszeitraum bleibt die Produktion im Bereich U unverändert, bei V sinkt sie auf die Hälfte ab. Ermitteln Sie das Intervall   , in dem die Produktionsmenge von W variieren kann. Bestimmen Sie den Marktvektor   ,  falls die Produktionsmenge von W auf den kleinsten Wert absinkt.  (6 BE)

3.

Im  IR  sind die Vektoren   ,   ,    und    gegeben.
Zeigen Sie, dass sich der Vektor    als Linearkombination von  ,    und    darstellen lässt, aber    nicht als Linearkombination von  ,    und  . Erläutern Sie anhand einer Skizze die gegenseitige Lage der vier Vektoren.  (8 BE)